Beste Antwort
Ich hoffe, Sie sind mit der Mengenlehre einverstanden. Ich kann nicht sagen, wie wunderbar natürliche Zahlen sind. 🙂
Bevor wir also 2 + 2 = 4 beweisen, wollen wir zuerst wissen, was natürliche Zahlen sind. In einer nicht-mathematischen Sprache wären es nur Namen, die der von uns angegebenen Anzahl gegeben werden. Wir nennen dann Null, Eins, Zwei, und so weiter ………. Gleichzeitig hätten wir ihnen auch TOM, DICK, HARRY usw. nennen können.
Jetzt definieren wir sie Set Theoretisch –
Vorausgesetzt, alle Zahlen von 1 bis N vorhanden ist, ist die Nummer N + 1 definiert als –
N + 1 = N∪ \ {N \}
Mit anderen Worten, wir können sagen, dass der Operator „ +1 “ nichts anderes tut, als die größte Menge zu vereinen, die kleiner ist als die Menge, die wir betreiben mit dem Satz, der diesen größten Satz enthält, der kleiner ist als der Satz, an dem wir gearbeitet haben. (Dies ist nur die Definition der obigen Gleichung: P)
Wir definieren 0 als leere Menge,
0 = \ {\} = Φ p>
Jetzt definieren wir rekursiv die nächsten Zahlen –
1 = 0∪ \ {0 \} = Φ∪ \ {0 \} = \ {0 \}
2 = 1∪ \ {1 \} = \ {0 \} {\ {1 \} = \ {0,1 \}
3 = 2 ∪ \ {2 \} = \ {0,1 \} ∪ \ {1 \} = \ {0,1,2 \}
4 = 3∪ \ {3 \} = \ {0 , 1,2 \} ∪ \ {3 \} = \ {0,1,2,3 \}
und so weiter …
Wir können tatsächlich auf diese Weise beweisen, dass – N = \ {0,1,2,3, …, N-1 \}
Jetzt N + 2 = N + (1 + 1) = (N + 1) + 1 = (N + 1) ∪ \ {(N + 1) \} = \ {0,1,2,3 …, N- 1 \} ∪ \ {N \} ∪ \ {(N + 1) \} = \ {0,1,2,3 …, N + 1 \}
Eine gute Frage wäre Warum wurde der Operator „ +2 “ gleich „ + (1 + 1) Dies liegt einfach daran, dass wir 2 auf diese Weise definiert haben. Auch warum assoziierten die Klammern? Einfach weil wir es mit Mengen zu tun haben (auch das ohne nicht triviale Operatoren), können wir das tun. 😉
Jetzt stecken wir einfach N = 2 und Voila !!
2 + 2 = \ { 0,1,2,3 \} = 4
PS. Es tut uns leid, dass wir so lange sind, aber so machen wir es.
Sie können sich auf Mengen-theoretische Definition natürlicher Zahlen
Und ja, das wurde mir in meinem Kurs für diskrete Mathematik beigebracht. Ich danke dem Ausbilder.
Antwort
Natürlich. Dies ist formale Mathematik . Wenn wir 2 + 2 = 4 nicht beweisen könnten, würden wir nicht behaupten, dass dies überhaupt wahr ist.
Die erste Frage, die wir uns stellen sollten, lautet: Was bedeutet 2 + 2 = 4 eigentlich? bedeuten? Was ist 2? Was ist 4? Was ist +? Und was ist =? Was ist im Allgemeinen eine natürliche Zahl? Und wie werden Operationen und Beziehungen darüber definiert?
Gleichheit
Das wissen Sie wahrscheinlich schon, aber ich habe es um es trotzdem zu sagen. Meine Antwort muss logisch geschlossen sein (sei nur dankbar, dass ich nicht von ZFC-Axiomen ausgegangen bin, sondern was auch immer …). Wie auch immer, Gleichheit ist eine Beziehung zwischen zwei Dingen. Sicher, aber was ist eine Beziehung?
Eine binäre Beziehung R zwischen den Mengen A und B ist wie folgt definiert:
R \ subseteq A \ mal B
Wo \ times ist das kartesische Produkt. Also ist aRb genau dann wahr, wenn (a, b) \ in R.
Gleichheit = eine Beziehung mit den folgenden Eigenschaften ist:
- Reflexivität: \ forall x: x = x
- Symmetrie: \ für alle x, y: x = y \ impliziert y = x
- Transitivität: \ für alle x, y, z: ((x = y \ land) y = z) \ impliziert x = z)
Natürliche Zahlen: Das schönste unnatürliche Ding aller Zeiten
Wenn Sie jemanden fragen, was eine natürliche Zahl ist, hören Sie normalerweise „1,2,3,…“, als ob dies die Sache erledigt hätte. Die eigentliche Definition beseitigt die Mehrdeutigkeit und macht die Angelegenheit viel attraktiver. Was sind also natürliche Zahlen?
Die Menge {} ^ {(*)} \ N, deren Elemente die Peano-Axiome respektieren, ist die Menge der natürlichen Zahlen. Gleichheit wird über diese Menge definiert, was bedeutet, dass die natürlichen Zahlen unter Gleichheit (offensichtlich) geschlossen sind. Hier sind die Peano-Axiome:
- 0 \ in \ N
- Die Nachfolgefunktion S: \ N \ bis \ N hat die folgenden Eigenschaften:
- \ forall n \ in \ N: S (n) \ in \ N
- \ forall n, m \ in \ N: m = n \ iff S (n) = S (m)
- \ nexists n \ in \ N: S (n) = 0
Sind wir fertig? Mal sehen, was diese Axiome bedeuten. Das erste, was uns gesagt wird, ist, dass 0 eine natürliche Zahl ist. Nach Axiom 2a ist S (0) auch in \ N. Dies gilt auch für S (S (0)), S (S (S (0))) und S (S (… S (S (0))). Dies sieht aus wie eine Art „Linienstruktur“, als würde die Menge eine Gesamtreihenfolge zulassen. Aber was ist, wenn \ n \ in \ N existiert, n \ neq 0: (\ nexists m \ in \ N: S (m) = n)? Das heißt, könnte es eine natürliche Zahl geben, die nicht der Nachfolger einer natürlichen Zahl ist? Wir werden sehen. Nehmen Sie die Menge:
M = \ {0, S (0), S (S (0)), …, z, S (z), S (S (z)). .. \}
Das heißt, die Menge enthält 0 und alle ihre Nachfolger und z und alle ihre Nachfolger.Es hat die oben erwähnte Eigenschaft, dass z nicht der Nachfolger einer anderen natürlichen Zahl ist. Überprüft M die Axiome? Nun, Axiom 1 wird trivial verifiziert, indem man es betrachtet. Axiom 2a wird ebenfalls verifiziert: Durch die Definition der Menge stellt sich heraus, dass sie unter der Nachfolgerfunktion geschlossen ist. In ähnlicher Weise gelten 2b und 2c auch für M. Die oben konstruierte Menge I hat zwei völlig unabhängige „Linien“ (nennen sie die 0-Linie und die z-Linie) und erlaubt daher keine Gesamtreihenfolge.
Aber … aber … das ist nicht das, was wir wollen.
Natürliche Zahlen entstanden als intuitive Methode, um einige Aspekte der Realität zuerst zu verstehen, und erst viel, viel später wurde die Definition erfasst formal. Und wir hatten bereits ein intuitives Verständnis dafür, wie sie sich verhalten sollten. Um M zu vermeiden, benötigen wir ein zusätzliches Axiom.
- Induktionsaxiom: (0 \ in X \ land (\ forall n \ in \ N: n \ in X \ impliziert S () n) \ in X) \ impliziert \ N \ subseteq X
Dies impliziert, dass jede natürliche Zahl mit Ausnahme von 0 der Nachfolger einer anderen natürlichen Zahl ist. Mit dem Axiom der Induktion insgesamt (oder manchmal als linear bezeichnet) kann in \ N induziert werden. Da dies in dieser Antwort nicht von großer Relevanz ist, werden wir den Begriff nicht formal definieren
Die meisten Leser, die an diesen Punkt gelangt sind, können 2 = S (S (0)) und 4 = S (S (S (S (0))) sehen, aber um Wie können wir \ N rein aus satztheoretischen Begriffen konstruieren, wenn wir zu mathematischen Formalismen gelangen?
Die Von-Neumann-Konstruktion der natürlichen Zahlen
Ich werde zeigen, wie eine solche Leistung erreicht werden kann. Definieren Sie 0 = \ {\} und S (n) = n \ cup \ {n \}. Dann:
S (0 ) = \ {\ {\} \}
S (S (0)) = \ {\ {\}, \ {\ {\} \} \}
S. (S (S (0))) = \ {\ {\}, \ {\ {\} \}, \ {\ {\}, \ {\ {\} \} \} \}
(…)
Ich hoffe, ich habe dort nichts verpasst, das ist in La ziemlich verwirrend. Wie auch immer, die Idee ist, dass der Nachfolger von n enthält jede vorherige natürliche Zahl, einschließlich n. Es ist leichter zu erkennen, dass, wenn wir es so schreiben:
0 = \ {\}
1 = S (0) = \ {0 \}
2 = S (S (0)) = \ {0, 1 \}
3 = S (S (S (0))) = \ {0, 1, 2 \}
(…)
Wie Sie sehen können, gibt es viele Mengen, die den Peano-Axiomen entsprechen, die wir als „Darstellungen“ oder bezeichnen Modelle des abstrakten Objekts \ N. Das heißt, die Mengen werden auf unterschiedliche Weise definiert, aber semantisch sind sie genau gleich.
Genug mit natürlichen Zahlen. Gehen wir zu dem einzigen Punkt, der nicht definiert ist: +
Addition der natürlichen Zahlen
Definieren Sie eine Operation + over \ N als:
\ für alle n \ in \ N: n + 0 = n
\ für alle a, b \ in \ N: S (a + b) = a + S (b)
Sicher genug, dass S (n) = n + 1 ist, da n + 1 = n + S (0) und per Definition n + S (0) = S (n + 0) = S (n). Ist + assoziativ und kommutativ, wie wir es erwarten würden? Natürlich! Und als ob das nicht genug Schönheit wäre, werden wir das Axiom der Induktion verwenden. Zuerst müssen wir wissen, ob \ forall n \ in \ N: 0 + n = n:
- 0 die additive Identität :
Definieren Sie das Prädikat P (n) als \ forall n \ in \ N: 0 + n = n. P (0) gilt eindeutig: 0 + 0 = 0 nach der ersten Definition. Nach dem Axiom der Induktion:
n + 0 = 0 + n \ impliziert
S (n + 0) = S (0 + n) \ impliziert
S (n) = 0 + S (n) \ impliziert
\ forall n \ in \ N: 0 + n = n
- Assoziativität:
Definieren Sie P (c) als \ für alle a, b \ in \ N: (a + b) + c = a + (b + c)
P (0):
(a + b) + 0 = a + b
a + (b + 0) = a + b
Nun müssen wir zeigen, dass:
P (c) \ impliziert P (S (c)):
Angenommen, P (c):
(a + b) + c = a + (b + c) \ impliziert
S ((a + b) + c) = S (a + (b + c)) \ impliziert
(a + b) + S (c ) = a + S (b + c) \ impliziert
(a + b) + S (c) = a + (b + S (c))
- Kommutativität :
Geben Sie dem Prädikat \ forall n \ in \ N den Namen P (\ ell) (\ ell \ in \ N): n + \ ell = \ ell + n. Für \ ell = 1:
P (1):
Wir werden 1 (da wir bereits 0 Pendler mit allem gezeigt haben) als Basisfall verwenden und P (1) beweisen ) mit Induktion über G (a): a + 1 = 1 + a. G (0) ist natürlich trivial. Beweisen wir nun, dass G (a) \ G (a + 1) impliziert.
S (a) + 1 = S (a) + S (0) \ impliziert
S ( a) + 1 = S (S (a) + 0) \ impliziert
S (a) + 1 = S (a + 1) \ impliziert
Nach der Induktionshypothese:
S (a) + 1 = S (1 + a) \ impliziert
S (a) + 1 = 1 + S (a)
Die Basisfall ist erledigt, induktiver Schritt zu gehen!
P (\ ell) \ impliziert P (S (\ ell)):
Angenommen, P (\ ell):
n + \ ell = \ ell + n \ impliziert
S (n + \ ell) = S (\ ell + n) \ impliziert
n + S ( \ ell) = \ ell + S (n) \ impliziert
n + \ ell + 1 = \ ell + n + 1
Im Basisfall (1 pendelt mit allem) :
n + \ ell + 1 = \ ell + 1 + n
n + S (\ ell) = S (\ ell) + n
Und wir haben unsere bevorzugten Additionseigenschaften direkt aus der Definition bewiesen!
Die aktuelle Frage
Nun, Ich werde 2 + 2 = 4 beweisen. Es ist ein bisschen langweilig, aber hoffentlich war der Weg irgendwie aufschlussreich. Jedenfalls ist 2 = S (S (0)) und 4 = S (S (S (S (0)))).
2 + 2 = S (S (0)) + S (S (0)) \ impliziert
2 + 2 = S (S (S (0)) + S. (0)) \ impliziert
2 + 2 = S (S (S (0)) + 1) \ impliziert
2 + 2 = S (S (S (S (S) 0)))) = 4
Großartig! Wir haben es geschafft!
Sicher, Sie könnten auch die Dezimalschreibweise definieren, aber 2 und 4 behalten durch bloße Definition dieselbe Bedeutung. Kurz gesagt, diese ganze Antwort ist ein gigantisches „per Definition“ und ebenso wie die Mathematik.
Ich hoffe, Sie haben Ihren Weg genossen!
Wenn ich einen Fehler gemacht habe oder Sie etwas haben würde die Antwort hinzufügen oder ändern, würde ich gerne wissen.