Beste svaret
Uttalelsen din er
- noen ganger sant (med et uendelig antall eksempler som gjør det sant); og
- noen ganger falske (med et uendelig antall eksempler som viser at det er falskt);
men siden uttalelsen din bruker ordet noe,
- hele uttalelsen din er falsk, fordi
- det er uendelig mange eksempler der produktet av to irrasjonelle tall utgjør et rasjonelt tall.
Slik finner du et av de mange (uendelige) eksemplene som viser at denne påstanden er falsk .
- La A være lik ethvert sammensatt tall (produktet av to eller flere primtall). A vil med andre ord være et hvilket som helst ikke-primtall som er større enn 1. (For eksempel 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20 osv.)
- Beregn B lik kvadratet til A. (For eksempel 16, 36, 64, 81, 100, 144, 196, 225, 256, 324, 400 osv.)
- La C være lik enhver faktor av A som ikke er et perfekt kvadrat, som kan inkludere A selv. (For eksempel 2; 2/3/6; 2/8; 3; 2/5/10; 2/3/6/12; 2/7/14; 3/5/15; 2/8; 2 / 3/6/18; 2/5/10/20; osv.)
- Beregn D lik B delt på C.
- De to irrasjonelle tallene dine er √C og √D .
- Det rasjonelle produktet av √C og √D er lik A.
La meg illustrere dette med et eksempel:
- Bursdagen min er 26. av (noe), så A = 26
- B = 676
- C kan være 2, 13 eller 26, så jeg bruker 13, min heldig tall C = 13
- D = 676 ÷ 13 = 52
- Hva er produktet av de to irrasjonelle tallene: √13 og √52?
- √ 13 x √52 = √676 som er lik det rasjonelle tallet: 26
Som du kan se, er det et Uendelig antall eksempler der produktet er rasjonelt, men det er også et Uendelig antall eksempler der produktet er irrasjonelt.
Du kan bruke en lignende metode for å finne noen av mange eksempler på to irrasjonelle tall med et irrasjonelt produkt. Bare start med A lik ethvert sammensatt tall som ikke er et perfekt kvadrat, og la B være lik A. Trinn 3–5 vil være identiske, og trinn 6 vil gi deg et irrasjonelt svar.
Svar
Vurder \ sqrt {2} \ not \ i \ mathbb {Q}. Per definisjon er \ sqrt {2} \ times \ sqrt {2} = 2 \ i \ mathbb {Z} \ subseteq \ mathbb {Q}. Siden irrasjonelle (reelle) tall er et supplement til de rasjonelle tallene i realene (per definisjon), eller med andre ord, irrasjonelle tall er \ mathbb {R} \ setminus \ mathbb {Q}, kan vi se ganske tydelig at vi har funnet et eksempel på to irrasjonelle tall hvis produkt ikke er et irrasjonelt tall.
OK, jeg har jukset her, fordi jeg valgte det samme irrasjonelle tallet, men det illustrerer poenget at et produkt av irrasjonelle vil ikke nødvendigvis være irrasjonell (selv om det vil være tilfellet mest av tiden).
Nå, produktet av to transcendentale tall (som ikke er røttene til noe polynom med heltallskoeffisienter, og som er en delmengde av de irrasjonelle tallene – de utgjør faktisk størstedelen av dem!), selv at ikke garantert er irrasjonell. Tross alt, hvis x er transcendental, så er det også \ frac {1} {x}. Men x \ times \ frac {1} {x} = 1, som er et helt tall, og dermed ikke irrasjonelt. Noe som forsterker poenget!