Nejlepší odpověď
Kdykoli chceme matematicky reprezentovat nějakou fyzickou veličinu, musíme zjistit, kolik informací je potřeba k určení hodnoty tu veličinu.
Už musíte být obeznámeni s konceptem skalárů a tenzorů.
Například když mluvíme o hromadě objektů, pak potřebujeme pouze jedno číslo k definování hodnota (samozřejmě s jednotkou). Například když mluvíte o autě, dalo by se říct, že má hmotnost 1200 kg. K určení jeho hodnoty stačí jen číslo.
U vektorů potřebujete kromě velikosti také směr, ve kterém působí, až poté získáte úplné informace. Například rychlost je vektor, protože kromě velikosti řekněme 10 km / h musíte určit, kterým směrem se tělo pohybuje. Podobně můžete mít nějaké další veličiny, kde budete potřebovat více informací k určení úplných informací o této hodnotě.
Tenzory jsou tedy touto rodinou geometrických objektů, které vám buď pomáhají reprezentovat fyzikální veličiny, nebo je lze použít k zajištění vztahu mezi skaláry, vektory nebo dokonce jinými tenzory.
Nejvíce základní tenzor je tenzor nultého řádu, běžněji nazývaný skalární. Vyžaduje pouze číslo, které má být reprezentováno.
Další by byly tenzory prvního řádu, nazývané vektory. Ty vyžadují ke specifikaci hodnoty dvě informace, tj. Velikost a směr.
Další jsou tenzory druhého řádu, které ke specifikaci vyžadují velikost a dva směry / indexy. Nejběžnějším příkladem toho, který se také vyučuje ve strojírenství, jsou tenzory napětí a přetvoření.
Proč tedy potřebujeme tenzory?
Zvažte krychli ve stavu napětí jak je uvedeno níže.
Když se na to díváte ze směru z, vypadalo by to takto –
Nyní vám říkám, že existuje napětí 10 MPa působící vodorovně směrem k pravé straně. Mohl bys přijít na to, o kom mluvím? Ne, protože informace jsou neúplné.
Pokud by uvedené napětí působilo na pravou svislou plochu, bylo by to normální napětí. Pokud by stejné napětí 10 MPa působící vodorovně směrem k pravé straně působilo na horní vodorovnou plochu, bylo by to smykové napětí, což by znamenalo obrovský rozdíl.
Takže pro úplné definování napětí (\ tau\_ {xy}), každé napětí by vyžadovalo tři informace –
- velikost napětí (dána \ sigma pro normální a \ tau pro smykové napětí)
- Tvář, na kterou působí, daná prvním indexem v dolním indexu.
- Směr, kterým jedná, dána druhým indexem v dolním indexu.
Všechny tyto informace mohou být reprezentovány maticí, jak je uvedeno níže –
Takže můžeme stres nazvat jako tenzor druhého řádu. Stejné pro deformaci.
Podobně, na základě požadavku můžete mít tenzory vyššího řádu.
Například pokud jde o napětí a přetvoření, oba jsou tenzory druhého řádu, bude potřebovat tenzor čtvrtého řádu, jak je uvedeno níže –
{\ sigma\_ {ij}} = [C\_ {ijkl}] {\ epsilon\_ {kl}}
Tady, [C\_ { ijkl}] je tenzor čtvrtého řádu, který představuje matici tuhosti.
Odpověď
Dovolte mi přesnou odpověď: Pokud je sada čísel zapsána do čtvercového pole, říkáme, že jako matice. Předpokládejme, že pokud připojíme souřadný systém k popisu stejné množiny čísel v tomto poli, pak zavoláme stejnou matici jako tenzor. Závěr tedy zní: Pokud chceme popsat čísla bez odkazu na souřadné osy, jsou to matice. Pokud připojíme souřadnicové osy (kartézské / sférické / libovolné), nazýváme stejnou sadu pole jako tenzor.
Když přijdeme k bodu, pořadí 2 znamená, že potřebujeme dva indexy k vyhledání čísla v pole jako A (i, j). Pokud potřebujete tři indexy (nebo indexy) k vyhledání čísla v poli, nazýváte to jako tenzor pozice 3. V jazyce C můžete deklarovat A [4] [4] pro tenzor 2. pozice a A [4 ] [4] [4] pro tenzor třetího řádu atd., Ve čtyřech rozměrech.
Je důležité si uvědomit, že počet dimenzí se automaticky zadá do výpočtu, protože když opravíte souřadnicové osy, vědět, kolik os fixujete. Ve třech rozměrech budou 3 osy a matematicky to může jít až n počet os v n-dimenzích.
Je možné poznamenat, že v d-dimenzích bude tenzor pořadí R mít d ^ R prvky. Tyto prvky se vyplňují jako (d \ krát d) čtvercové matice a počet těchto požadovaných matic se rovná d ^ R / d ^ 2, což se rovná d ^ {R-2}.
Další snadný způsob, jak porozumět tenzorům: Vektor má jednu velikost a jeden směr. Tenzor má několik velikostí a více směrů. Zejména tenzor druhé úrovně ve třech rozměrech má 9 velikostí s 9 směry.Devět velikostí je zobrazeno jako čtvercová matice o velikosti (3 \ krát 3), zatímco směry je třeba vzít z osových souřadnic připevněných k této čtvercové matici.
Toto je první krok k poznání tenzor. Jakmile je to jasné, můžete přistoupit k formální matematické definici tenzoru.