Meilleure réponse
Chaque fois que nous voulons représenter une quantité physique mathématiquement, nous devons voir combien dinformations sont nécessaires pour spécifier la valeur de cette quantité.
Vous devez déjà être familier avec le concept de scalaires et de tenseurs.
Par exemple, si nous parlons de masses dobjets, alors nous avons besoin dun seul nombre pour définir le valeur (avec une unité bien sûr). Par exemple, si vous parlez dune voiture, vous pourriez dire quelle a une masse de 1200 kg. Un seul nombre suffit pour spécifier sa valeur.
Pour les vecteurs, en dehors de la magnitude, vous avez également besoin de la direction dans laquelle il agit, alors seulement avoir des informations complètes sur. Par exemple, la vitesse est un vecteur, car à part une magnitude de 10 km / h, vous devez spécifier la direction dans laquelle le corps se déplace. De même, vous pouvez avoir dautres quantités pour lesquelles vous avez besoin de plus dinformations pour spécifier les informations complètes sur cette valeur.
Les tenseurs sont donc cette famille dobjets géométriques, qui vous aident à représenter des quantités physiques, ou peuvent être utilisés pour fournir une relation entre des scalaires, des vecteurs ou même dautres tenseurs.
Le plus le tenseur de base est le tenseur dordre zéro, plus communément appelé scalaire. Cela nécessite juste un nombre à représenter.
Le suivant serait des tenseurs de premier ordre, appelés vecteurs. Celles-ci nécessitent deux informations, cest-à-dire la magnitude et la direction pour spécifier la valeur.
Les tenseurs du second ordre sont les suivants, nécessitant une magnitude et deux directions / indices à spécifier. Lexemple le plus courant de ceci, qui est également enseigné en ingénierie, sont les tenseurs de contrainte et de déformation.
Alors pourquoi avons-nous besoin de tenseurs?
Considérons un cube sous un état de contrainte comme indiqué ci-dessous.
Lorsque vous le regardez depuis la direction z, il ressemblerait à ceci –
Maintenant je vous le dis, il y a une contrainte de 10 MPa agissant horizontalement vers le côté droit. Pourriez-vous savoir de laquelle je parle? Non, car linformation est incomplète.
Si ladite contrainte agissait sur la face verticale droite, ce serait une contrainte normale. Si la même contrainte de 10 MPa agissant horizontalement vers le côté droit agissait sur la surface horizontale supérieure, ce serait une contrainte de cisaillement, et cela fait une énorme différence.
Donc, pour définir complètement la contrainte (\ tau\_ {xy}), chaque contrainte aurait besoin de trois informations –
- Lamplitude de la contrainte (donnée par \ sigma pour la normale et \ tau pour les contraintes de cisaillement)
- Le visage sur lequel il agit, donné par le premier index de lindice.
- Le sens dans lequel il agit, donné par le deuxième index de lindice.
Toutes ces informations peuvent être représentées par une matrice comme indiqué ci-dessous –
Donc, nous pouvons appeler le stress comme un tenseur du second ordre. Idem pour la déformation.
Similaire à ceci, en fonction de lexigence, vous pouvez avoir des tenseurs dordre supérieur.
Par exemple, pour relier la contrainte et la déformation, qui sont toutes deux des aura besoin dun tenseur de quatrième ordre comme indiqué ci-dessous –
{\ sigma\_ {ij}} = [C\_ {ijkl}] {\ epsilon\_ {kl}}
Ici, [C\_ { ijkl}] est un tenseur du quatrième ordre qui représente la matrice de rigidité.
Réponse
Permettez-moi de donner une réponse précise: si un ensemble de nombres est écrit dans un tableau carré, nous disons que comme matrice. Supposons que si nous attachons un système de coordonnées pour décrire le même ensemble de nombres dans ce tableau, alors nous appelons la même matrice comme un tenseur. Donc, la conclusion est la suivante: si nous voulons décrire des nombres sans faire référence aux axes de coordonnées, ce sont des matrices. Si nous attachons des axes de coordonnées (cartésien / sphérique / quelconque), alors nous appelons le même ensemble de tableau quun tenseur.
En venant au point, le rang 2 signifie que nous avons besoin de deux index pour localiser un nombre dans le tableau comme A (i, j). Si vous avez besoin de trois index (ou indices) pour localiser un nombre dans le tableau, vous lappelez comme un tenseur de rang 3. En langage C, vous pouvez déclarer A [4] [4] pour le tenseur de 2e rang et A [4 ] [4] [4] pour un tenseur de troisième rang et ainsi de suite, en quatre dimensions.
Il est important de se rappeler que le nombre de dimensions entre automatiquement dans le calcul car lorsque vous fixez les axes de coordonnées, vous sachez combien daxes vous fixez. En trois dimensions, il y aura 3 axes et cela peut aller jusquà n nombre daxes en n dimensions, mathématiquement.
On peut noter quen d-dimensions, un tenseur de rang R va avoir d ^ R éléments. Ces éléments doivent être remplis sous forme de (d \ fois d) matrices carrées et le nombre de ces matrices nécessaires est égal à d ^ R / d ^ 2 qui est égal à d ^ {R-2}.
Une autre façon simple de comprendre les tenseurs: Un vecteur a une grandeur et une direction. Un tenseur a plusieurs magnitudes et plusieurs directions. En particulier, un tenseur de rang deux en trois dimensions a 9 grandeurs avec 9 directions.Les neuf magnitudes sont représentées par une matrice carrée de taille (3 \ fois 3), tandis que les directions doivent être prises à partir des axes de coordonnées fixés à cette matrice carrée.
Cest la première étape vers la connaissance dun tenseur. Une fois que cela est clair, vous pouvez passer à la définition mathématique formelle du tenseur.