Beste svaret
Når vi ønsker å representere noen fysisk mengde matematisk, må vi se hvor mye informasjon som trengs for å spesifisere verdien av den mengden.
Du må allerede være kjent med begrepet skalarer og tensorer.
Hvis vi for eksempel snakker om masser av objekter, trenger vi bare ett tall for å definere verdi (med en enhet selvfølgelig). For eksempel, hvis du snakker om en bil, kan du si at den har en masse på 1200 kg. Bare et tall er nok til å spesifisere verdien.
For vektorer, bortsett fra størrelsen, trenger du også retningen det virker i, bare da har du fullstendig informasjon om. For eksempel er hastighet en vektor, bortsett fra størrelsen på si 10 kmph, må du spesifisere hvilken retning kroppen beveger seg i. På samme måte kan du ha noen andre størrelser der du trenger mer informasjon for å spesifisere fullstendig informasjon om den verdien.
Så tensorer er denne familien av geometriske objekter, som enten hjelper deg med å representere fysiske størrelser, eller som kan brukes til å gi et forhold mellom skalarer, vektorer eller til og med andre tensorer.
Det mest grunnleggende tensor er nullordens tensor, oftere kalt skalar. Det krever bare et tall å representere.
Den neste vil være førsteordens tensorer, kalt vektorer. Disse krever to deler informasjon, dvs. størrelse og retning for å spesifisere verdien.
Andre ordens tensorer er den neste, og krever størrelse og to retninger / indekser for å spesifisere. Det vanligste eksemplet på dette, som også undervises i ingeniørfag, er spennings- og spenningstensorer.
Så hvorfor trenger vi tensorer?
Vurder en kube under en tilstand av stress som vist nedenfor.
Når du ser på det fra z-retning, vil det se slik ut –
Nå sier jeg deg, det er en belastning på 10 MPa som virker horisontalt mot høyre side. Kan du finne ut hvilken jeg snakker om? Nei, fordi informasjonen er ufullstendig.
Hvis nevnte spenning virker på det rette vertikale ansiktet, vil det være en normal spenning. Hvis den samme spenningen på 10 MPa som virker horisontalt mot høyre, virket på den øverste horisontale overflaten, ville det være en skjærspenning, og dette utgjør en enorm forskjell.
Så å definere spenningen fullstendig (\ tau\_ {xy}), vil hver spenning trenge tre stykker informasjon-
- Størrelsen på spenningen (gitt av \ sigma for normal og \ tau for skjærspenning)
- Ansiktet det handler på, gitt av den første indeksen i abonnementet.
- Retningen det handler på, gitt av den andre indeksen i abonnementet.
All denne informasjonen kan representeres av en matrise som vist nedenfor –
Så, vi kan kalle stress som en andre ordens tensor. Samme for belastning.
I likhet med dette kan du, basert på kravet, ha høyere ordensensorer.
For eksempel, for å relatere stress og belastning, som begge er andre ordens tensorer, trenger en fjerde ordens tensor som vist nedenfor –
{\ sigma\_ {ij}} = [C\_ {ijkl}] {\ epsilon\_ {kl}}
Her, [C\_ { ijkl}] er en fjerde ordens tensor som representerer stivhetsmatrisen.
Svar
La meg gi et presist svar: Hvis et sett med tall skrives i en firkantet matrise, sier vi at som en matrise. Anta at hvis vi fester et koordinatsystem for å beskrive samme sett med tall i den matrisen, så kaller vi den samme matrisen som en tensor. Så konklusjonen er: Hvis vi vil beskrive tall uten å referere til koordinatakser, er de matriser. Hvis vi fester koordinatakser (kartesisk / sfærisk / hvilken som helst), kaller vi det samme settet med matrise som en tensor.
Når vi kommer til punktet, betyr rang 2 at vi trenger to indekser for å finne et tall i matrise som A (i, j). Hvis du trenger tre indekser (eller indekser) for å finne et tall i matrisen, kaller du det som en tensor av rang 3. I C-språket kan du erklære A [4] [4] for 2. rang tensor og A [4 ] [4] [4] for en tredje rang tensor og så videre, i fire dimensjoner.
Det er viktig å huske at antall dimensjoner automatisk kommer inn i beregningen fordi når du fikser koordinataksene, vet hvor mange akser du fikser. I tre dimensjoner vil det være 3-akser, og det kan gå opp til n antall akser i n-dimensjoner, matematisk.
Det kan bemerkes at i d-dimensjoner vil en tensor av rang R har d ^ R-elementer. Disse elementene skal fylles ut som (d \ ganger d) firkantede matriser, og antall slike matriser som kreves er lik d ^ R / d ^ 2 som er lik d ^ {R-2}.
En annen enkel måte å forstå tensorer på: En vektor har en størrelse og en retning. En tensor har flere størrelser og flere retninger. Spesielt har en tensor av rang to i tre dimensjoner 9 størrelser med 9 retninger.De ni størrelsene er vist som en kvadratmatrise av størrelse (3 \ ganger 3), mens retningene skal tas fra koordinataksene som er festet til den kvadratiske matrisen.
Dette er det første trinnet mot å kjenne en tensor. Når dette er klart, kan du gå videre til en formell matematisk definisjon av tensor.