Najlepsza odpowiedź
Gdy chcemy matematycznie przedstawić jakąś wielkość fizyczną, musimy sprawdzić, ile informacji jest potrzebnych do określenia wartości tę ilość.
Musisz już znać pojęcie skalarów i tensorów.
Na przykład, jeśli mówimy o masach obiektów, potrzebujemy tylko jednej liczby do zdefiniowania wartość (oczywiście z jednostką). Na przykład, jeśli mówisz o samochodzie, możesz powiedzieć, że ma masę 1200 kg. Wystarczy liczba, aby określić jej wartość.
W przypadku wektorów, oprócz wielkości, potrzebujesz również kierunku, w którym działa, tylko wtedy masz pełną informację o tym. Na przykład prędkość jest wektorem, ponieważ oprócz wielkości, powiedzmy 10 km / h, musisz określić, w którym kierunku porusza się ciało. Podobnie możesz mieć inne wielkości, w których potrzebujesz więcej informacji, aby określić pełną informację o tej wartości.
Więc tensory to rodzina obiektów geometrycznych, które albo pomagają w przedstawianiu wielkości fizycznych, albo mogą być używane do zapewnienia relacji między skalarami, wektorami, a nawet innymi tensorami.
Najbardziej tensor podstawowy to tensor zerowego rzędu, częściej nazywany skalarem. Wystarczy liczba do reprezentacji.
Następnym byłyby tensory pierwszego rzędu, zwane wektorami. Wymagają one dwóch informacji, tj. Wielkości i kierunku, aby określić wartość.
Następnymi są tensory drugiego rzędu, wymagające określenia wielkości i dwóch kierunków / wskaźników. Najczęstszym przykładem tego, który jest również nauczany w inżynierii, są tensory naprężenia i odkształcenia.
Dlaczego więc potrzebujemy tensorów?
Rozważmy sześcian w stanie naprężenia jak pokazano poniżej.
Kiedy patrzysz na to z kierunku z, wyglądałoby to tak –
Mówię wam, istnieje naprężenie 10 MPa działające poziomo w prawą stronę. Czy możesz dowiedzieć się, o którym mówię? Nie, ponieważ informacja jest niekompletna.
Gdyby wspomniany stres działał na prawą pionową ścianę, byłby to normalny stres. Gdyby to samo naprężenie 10 MPa działające poziomo w kierunku prawej strony działało na górną poziomą powierzchnię, byłoby to naprężenie ścinające, a to stanowi ogromną różnicę.
Aby więc całkowicie zdefiniować naprężenie (\ tau\_ {xy}), każde naprężenie wymagałoby trzech informacji –
- Wielkość naprężenia (podana przez \ sigma dla naprężeń normalnych i \ tau dla naprężeń ścinających)
- Twarz, na której działa, określona przez pierwszy indeks w indeksie dolnym.
- Kierunek, w którym działa, określony przez drugi indeks w indeksie dolnym.
Wszystkie te informacje można przedstawić za pomocą macierzy, jak pokazano poniżej –
Stres możemy więc nazwać tensor drugiego rzędu. To samo dotyczy odkształcenia.
Podobnie, w oparciu o wymagania, możesz mieć tensory wyższego rzędu.
Na przykład, aby powiązać naprężenie i odkształcenie, z których oba są tensorami drugiego rzędu, będzie potrzebował tensora czwartego rzędu, jak pokazano poniżej –
{\ sigma\_ {ij}} = [C\_ {ijkl}] {\ epsilon\_ {kl}}
Tutaj, [C\_ { ijkl}] to tensor czwartego rzędu, który reprezentuje macierz sztywności.
Odpowiedź
Pozwól, że podam dokładną odpowiedź: Jeśli zbiór liczb jest zapisany w tablicy kwadratowej, mówimy, że jako macierz. Załóżmy, że jeśli dołączymy układ współrzędnych, aby opisać ten sam zbiór liczb w tej tablicy, wówczas nazwiemy tę samą macierz jako tensor. Zatem wniosek jest taki: jeśli chcemy opisać liczby bez odwoływania się do osi współrzędnych, to są to macierze. Jeśli dołączymy osie współrzędnych (kartezjańskie / sferyczne / dowolne), wówczas wywołamy ten sam zestaw tablicy jako tensor.
Przechodząc do punktu, pozycja 2 oznacza, że potrzebujemy dwóch indeksów, aby zlokalizować liczbę w tablica taka jak A (i, j). Jeśli potrzebujesz trzech indeksów (lub indeksów) do zlokalizowania liczby w tablicy, nazywasz ją tensorem rzędu 3. W języku C możesz zadeklarować A [4] [4] dla tensora drugiego rzędu i A [4 ] [4] [4] dla tensora trzeciego rzędu itd., W czterech wymiarach.
Ważne jest, aby pamiętać, że liczba wymiarów jest automatycznie wprowadzana do obliczeń, ponieważ kiedy ustalasz osie współrzędnych, wiesz, ile osi naprawiasz. W trzech wymiarach będą 3-osie, a matematycznie może dojść do liczby n osi w n-wymiarach.
Można zauważyć, że w wymiarach d tensor rzędu R będzie mają d ^ R elementów. Te elementy należy wypełnić jako (d \ razy d) macierze kwadratowe, a liczba takich macierzy jest równa d ^ R / d ^ 2, co jest równe d ^ {R-2}.
Inny łatwy sposób na zrozumienie tensorów: wektor ma jedną wielkość i jeden kierunek. Tensor ma wiele wielkości i wiele kierunków. W szczególności tensor rzędu drugiego w trzech wymiarach ma 9 magnitudo w 9 kierunkach.Dziewięć wielkości jest przedstawionych jako macierz kwadratowa o rozmiarze (3 \ razy 3), podczas gdy kierunki należy wziąć z osi współrzędnych zamocowanych do tej macierzy kwadratowej.
To jest pierwszy krok w kierunku poznania napinacz. Gdy to będzie jasne, możesz przejść do formalnej definicji matematycznej tensora.