Beste antwoord
Telkens wanneer we een fysische grootheid wiskundig willen representeren, moeten we zien hoeveel informatie er nodig is om de waarde van die hoeveelheid.
Je moet al bekend zijn met het concept van scalairen en tensoren.
Als we het bijvoorbeeld hebben over massas objecten, dan hebben we maar één getal nodig om de waarde (met een eenheid natuurlijk). Als je het bijvoorbeeld over een auto hebt, zou je kunnen zeggen dat deze een massa van 1200 kg heeft. Alleen een getal is voldoende om de waarde ervan te specificeren.
Voor vectoren heb je behalve de magnitude ook de richting nodig waarin het handelt, alleen dan heb je er volledige informatie over. Snelheid is bijvoorbeeld een vector, want behalve de magnitude van bijvoorbeeld 10 km / u, moet u specificeren in welke richting het lichaam beweegt. Evenzo kunt u een aantal andere grootheden hebben waarvoor u meer informatie nodig heeft om de volledige informatie over die waarde te specificeren.
Tensoren zijn dus deze familie van geometrische objecten, die je helpen om fysieke grootheden weer te geven, of die kunnen worden gebruikt om een relatie te leggen tussen scalairen, vectoren of zelfs andere tensoren.
De meeste basistensor is de nulde orde tensor, beter bekend als een scalair. Het vereist alleen een getal om weer te geven.
De volgende zijn tensoren van de eerste orde, vectoren genaamd. Deze vereisen twee soorten informatie, d.w.z. grootte en richting om de waarde te specificeren.
Tweede orde tensoren zijn de volgende, die magnitude en twee richtingen / indices vereisen om te specificeren. Het meest voorkomende voorbeeld hiervan, dat ook in de techniek wordt onderwezen, zijn de spannings- en rekspanningen.
Dus waarom hebben we tensoren nodig?
Overweeg een kubus onder spanning zoals hieronder getoond.
Als je ernaar kijkt vanuit de z-richting, zou het er zo uitzien –
Nu zeg ik je, er is een spanning van 10 MPa die horizontaal naar de rechterkant werkt. Kun je erachter komen over welke ik het heb? Nee, omdat de informatie onvolledig is.
Als de genoemde spanning op het rechter verticale vlak zou werken, zou het een normale spanning zijn. Als dezelfde spanning van 10 MPa die horizontaal naar de rechterkant werkt, zou werken op het bovenste horizontale oppervlak, zou dit een schuifspanning zijn en dit maakt een enorm verschil.
Dus om de spanning volledig te definiëren (\ tau\_ {xy}), zou elke spanning drie stukjes informatie nodig hebben-
- De grootte van de spanning (gegeven door \ sigma voor normaal en \ tau voor schuifspanningen)
- Het gezicht waarop het handelt, aangegeven door de eerste index in het subscript.
- De richting waarin het handelt, aangegeven door de tweede index in het subscript.
Al deze informatie kan worden weergegeven door een matrix zoals hieronder weergegeven –
We kunnen stress dus een tweede orde tensor. Hetzelfde voor rek.
Vergelijkbaar met dit, op basis van de vereiste, kunt u tensoren van hogere orde hebben.
Om bijvoorbeeld spanning en rek met elkaar in verband te brengen, die beide tweede orde tensoren zijn, heeft een vierde orde tensor nodig, zoals hieronder getoond –
{\ sigma\_ {ij}} = [C\_ {ijkl}] {\ epsilon\_ {kl}}
Hier, [C\_ { ijkl}] is een tensor van de vierde orde die de stijfheidsmatrix vertegenwoordigt.
Antwoord
Laat me een precies antwoord geven: Als een reeks getallen in een vierkante array wordt geschreven, zeggen we dat als een matrix. Stel dat als we een coördinatensysteem koppelen om dezelfde reeks getallen in die array te beschrijven, we dezelfde matrix een tensor noemen. Dus de conclusie is: als we getallen willen beschrijven zonder naar coördinaatassen te verwijzen, zijn het matrices. Als we coördinaatassen koppelen (cartesiaans / bolvormig / willekeurig), dan noemen we dezelfde reeks array als een tensor.
Ter zake, rang 2 betekent dat we twee indexen nodig hebben om een nummer in de array zoals A (i, j). Als je drie indexen (of indices) nodig hebt om een getal in de array te lokaliseren, noem je het een tensor van rang 3. In de C-taal kun je A [4] [4] declareren voor de tensor van de 2e rang en A [4 ] [4] [4] voor een derde rang tensor enzovoort, in vier dimensies.
Het is belangrijk om te onthouden dat het aantal dimensies automatisch in de berekening wordt ingevoerd, want als u de coördinaatassen vastlegt, weet hoeveel assen u aan het repareren bent. In drie dimensies zullen er 3-assen zijn en het kan wiskundig tot n aantal assen in n-dimensies gaan.
Opgemerkt kan worden dat in d-dimensies een tensor van rang R zal hebben d ^ R-elementen. Deze elementen moeten worden gevuld als (d \ maal d) vierkante matrices en het aantal van dergelijke matrices is gelijk aan d ^ R / d ^ 2 wat gelijk is aan d ^ {R-2}.
Nog een gemakkelijke manier om tensoren te begrijpen: een vector heeft één magnitude en één richting. Een tensor heeft meerdere grootheden en meerdere richtingen. In het bijzonder heeft een tensor van rang twee in drie dimensies 9 magnitudes met 9 richtingen.De negen magnitudes worden weergegeven als een vierkante matrix van grootte (3 \ maal 3), terwijl de richtingen moeten worden genomen vanaf de coördinaatassen die aan die vierkante matrix zijn bevestigd.
Dit is de eerste stap om een tensor. Zodra dit duidelijk is, kunt u doorgaan met de formele wiskundige definitie van tensor.