Bedste svar
Når vi ønsker at repræsentere en fysisk mængde matematisk, er vi nødt til at se, hvor meget information der er behov for for at specificere værdien af denne mængde.
Du skal allerede være bekendt med begrebet skalarer og tensorer.
For eksempel hvis vi taler om masser af objekter, behøver vi kun et nummer for at definere værdi (med en enhed selvfølgelig). For eksempel, hvis du taler om en bil, kan du sige, at den har en masse på 1200 kg. Bare et tal er nok til at angive dets værdi.
For vektorer, bortset fra størrelsen, har du også brug for den retning, det handler i, først så har du komplette oplysninger om. For eksempel er hastighed en vektor, bortset fra størrelsen på f.eks. 10 kmph, skal du angive, hvilken retning kroppen bevæger sig i. På samme måde kan du have nogle andre størrelser, hvor du har brug for mere information for at specificere den komplette information om den værdi.
Så tensorer er denne familie af geometriske objekter, som enten hjælper dig med at repræsentere fysiske størrelser eller kan bruges til at give et forhold mellem skalarer, vektorer eller endda andre tensorer.
Det mest grundlæggende tensor er tensor af nul orden, mere almindeligt kaldet en skalar. Det kræver bare et tal, der skal repræsenteres.
Den næste ville være første ordens tensorer, kaldet vektorer. Disse kræver to stykker information, dvs. størrelse og retning for at angive værdien.
Anden ordens tensorer er den næste, der kræver størrelse og to retninger / indekser for at specificere. Det mest almindelige eksempel på dette, som også undervises i teknik, er spændings- og spændingstensorer.
Så hvorfor har vi brug for tensorer?
Overvej en terning under en tilstand af stress som vist nedenfor.
Når du ser på det fra z-retning, ser det sådan ud –
Nu siger jeg dig, der er en stress på 10 MPa, der virker vandret mod højre side. Kan du finde ud af, hvilken jeg taler om? Nej, fordi informationen er ufuldstændig.
Hvis den nævnte stress virkede på det rigtige lodrette ansigt, ville det være en normal stress. Hvis den samme spænding på 10 MPa, der virker vandret mod højre side, virker på den øverste vandrette overflade, ville det være en forskydningsspænding, og det gør en enorm forskel.
Så for at definere spændingen fuldstændigt (\ tau\_ {xy}), hver stress ville have brug for tre stykker information-
- Størrelsens størrelse (givet af \ sigma for normal og \ tau for forskydningsspænding)
- Ansigtet, som det handler på, givet af det første indeks i abonnementet.
- Den retning, det handler i, givet af det andet indeks i abonnementet.
Al denne information kan repræsenteres af en matrix som vist nedenfor –
Så vi kan kalde stress som en anden ordens tensor. Samme for belastning.
Svarende til dette, baseret på krav, kan du have højere ordre tensorer.
For eksempel, for at relatere stress og belastning, som begge er anden ordens tensorer, skal du har brug for en fjerde ordens tensor som vist nedenfor –
{\ sigma\_ {ij}} = [C\_ {ijkl}] {\ epsilon\_ {kl}}
Her, [C\_ { ijkl}] er en fjerde ordens tensor, der repræsenterer stivhedsmatricen.
Svar
Lad mig give et præcist svar: Hvis et sæt tal er skrevet i et firkantet array, siger vi at som en matrix. Antag, at hvis vi vedhæfter et koordinatsystem for at beskrive det samme sæt tal i den matrix, så kalder vi den samme matrix som en tensor. Så konklusionen er: Hvis vi vil beskrive tal uden at henvise til koordinatakser, er de matricer. Hvis vi vedhæfter koordinatakser (kartesisk / sfærisk / hvilken som helst), kalder vi det samme sæt array som en tensor.
Når vi kommer til punktet, betyder rang 2, at vi har brug for to indekser for at finde et tal i matrix som A (i, j). Hvis du har brug for tre indekser (eller indekser) for at finde et nummer i arrayet, kalder du det som en tensor af rang 3. I C-sproget kan du erklære A [4] [4] for 2. rang tensor og A [4 ] [4] [4] for en tredje rang tensor og så videre i fire dimensioner.
Det er vigtigt at huske, at antallet af dimensioner automatisk indtastes i beregningen, fordi når du retter koordinatakserne, ved, hvor mange akser du løser. I tre dimensioner vil der være 3-akser, og det kan gå op til n antal akser i n-dimensioner, matematisk.
Det kan bemærkes, at i d-dimensioner vil en tensor af rang R har d ^ R-elementer. Disse elementer skal udfyldes som (d \ gange d) firkantede matricer, og antallet af sådanne krævede matricer er lig med d ^ R / d ^ 2, der er lig med d ^ {R-2}.
En anden nem måde at forstå tensorer på: En vektor har en størrelse og en retning. En tensor har flere størrelser og flere retninger. Især en tensor af rang to i tre dimensioner har 9 størrelser med 9 retninger.De ni størrelser er vist som en kvadratmatrix af størrelse (3 \ gange 3), mens retningerne skal tages fra koordinatakserne fastgjort til den kvadratiske matrix.
Dette er det første skridt mod at kende en tensor. Når dette er klart, kan du gå videre til en formel matematisk definition af tensor.