Mejor respuesta
Siempre que queramos representar matemáticamente alguna cantidad física, necesitamos ver cuánta información se necesita para especificar el valor de esa cantidad.
Ya debe estar familiarizado con el concepto de escalares y tensores.
Por ejemplo, si estamos hablando de masas de objetos, entonces solo necesitamos un número para definir el valor (con una unidad, por supuesto). Por ejemplo, si está hablando de un automóvil, podría decir que tiene una masa de 1200 kg. Solo un número es suficiente para especificar su valor.
Para los vectores, además de la magnitud, también necesitas la dirección en la que está actuando, solo entonces tienes información completa sobre. Por ejemplo, la velocidad es un vector, ya que aparte de la magnitud de, digamos, 10 kmph, debe especificar en qué dirección se mueve el cuerpo. De manera similar, podría tener algunas otras cantidades en las que necesite más información para especificar la información completa sobre ese valor.
Entonces, los tensores son esta familia de objetos geométricos, que te ayudan a representar cantidades físicas o se pueden usar para proporcionar una relación entre escalares, vectores o incluso otros tensores.
Los más El tensor básico es el tensor de orden cero, más comúnmente llamado escalar. Solo requiere un número para representar.
Los siguientes serían tensores de primer orden, llamados vectores. Estos requieren dos piezas de información, es decir, magnitud y dirección para especificar el valor.
Los tensores de segundo orden son los siguientes, y requieren magnitud y dos direcciones / índices para especificar. El ejemplo más común de esto, que también se enseña en ingeniería, son los tensores de tensión y deformación.
Entonces, ¿por qué necesitamos tensores?
Considere un cubo bajo un estado de tensión. como se muestra a continuación.
Cuando lo mires desde la dirección z, se vería así:
Ahora te digo, hay una tensión de 10 MPa actuando horizontalmente hacia el lado derecho. ¿Podrías averiguar de cuál estoy hablando? No, porque la información está incompleta.
Si dicho estrés actuara en la cara vertical derecha, sería un estrés normal. Si el mismo esfuerzo de 10 MPa actuando horizontalmente hacia el lado derecho actuara sobre la superficie horizontal superior, sería un esfuerzo cortante, y esto hace una gran diferencia.
Entonces, para definir completamente el esfuerzo (\ tau\_ {xy}), cada esfuerzo necesitaría tres piezas de información:
- La magnitud del esfuerzo (dada por \ sigma para esfuerzos normales y \ tau para esfuerzos cortantes)
- La cara sobre la que actúa, dada por el primer índice del subíndice.
- La dirección en la que actúa, dada por el segundo índice del subíndice.
Toda esta información se puede representar mediante una matriz como se muestra a continuación:
Entonces, podemos llamar al estrés como tensor de segundo orden. Lo mismo ocurre con la deformación.
Similar a esto, según los requisitos, puede tener tensores de orden superior.
Por ejemplo, para relacionar la tensión y la deformación, que son tensores de segundo orden, necesitará un tensor de cuarto orden como se muestra a continuación:
{\ sigma\_ {ij}} = [C\_ {ijkl}] {\ epsilon\_ {kl}}
Aquí, [C\_ { ijkl}] es un tensor de cuarto orden que representa la matriz de rigidez.
Respuesta
Permítanme dar una respuesta precisa: si un conjunto de números está escrito en una matriz cuadrada, decimos que como una matriz. Supongamos que si adjuntamos un sistema de coordenadas para describir el mismo conjunto de números en esa matriz, entonces llamamos a la misma matriz como tensor. Entonces, la conclusión es: si queremos describir números sin hacer referencia a ejes de coordenadas, son matrices. Si adjuntamos ejes de coordenadas (cartesiano / esférico / cualquiera), entonces llamamos al mismo conjunto de matriz como tensor.
Para ir al grano, el rango 2 significa que necesitamos dos índices para ubicar un número en el matriz como A (i, j). Si necesita tres índices (o índices) para ubicar un número en la matriz, lo llama como un tensor de rango 3. En el lenguaje C, puede declarar A [4] [4] para el tensor de segundo rango y A [4 ] [4] [4] para un tensor de tercer rango y así sucesivamente, en cuatro dimensiones.
Es importante recordar que el número de dimensiones ingresa automáticamente en el cálculo porque cuando fija los ejes de coordenadas, sepa cuántos ejes está arreglando. En tres dimensiones, habrá 3 ejes y puede subir hasta n números de ejes en n dimensiones, matemáticamente.
Se puede notar que en d-dimensiones, un tensor de rango R tienen d ^ R elementos. Estos elementos deben ser llenados como (d \ times d) matrices cuadradas y el número de tales matrices requeridas es igual a d ^ R / d ^ 2 que es igual a d ^ {R-2}.
Otra forma fácil de entender los tensores: Un vector tiene una magnitud y una dirección. Un tensor tiene múltiples magnitudes y múltiples direcciones. En particular, un tensor de rango dos en tres dimensiones tiene 9 magnitudes con 9 direcciones.Las nueve magnitudes se muestran como una matriz cuadrada de tamaño (3 \ times 3), mientras que las direcciones deben tomarse de los ejes de coordenadas fijados a esa matriz cuadrada.
Este es el primer paso para conocer una tensor. Una vez que esto esté claro, puede pasar a la definición matemática formal de tensor.