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어떤 물리량을 수학적으로 표현하고 싶을 때마다 값을 지정하는 데 얼마나 많은 정보가 필요한지 확인해야합니다. 그 양.
당신은 이미 스칼라와 텐서의 개념에 익숙해야합니다.
예를 들어 우리가 물체의 질량에 대해 이야기하고 있다면 우리는 하나의 숫자 만 필요합니다. 값 (물론 단위 포함). 예를 들어 자동차에 대해 이야기하는 경우 질량이 1200kg이라고 말할 수 있습니다. 값을 지정하는 데는 숫자만으로 충분합니다.
벡터의 경우 크기를 제외하고 벡터가 작동하는 방향도 필요합니다. 그래야만 완전한 정보를 얻을 수 있습니다. 예를 들어, 속도는 벡터입니다. 예를 들어 10kmph의 크기를 제외하고는 신체가 이동하는 방향을 지정해야합니다. 마찬가지로 해당 값에 대한 완전한 정보를 지정하기 위해 추가 정보가 필요한 다른 수량이있을 수 있습니다.
그러므로 텐서는 물리량을 표현하는 데 도움이되는 기하학적 객체 군입니다. 또는 스칼라, 벡터 또는 다른 텐서 간의 관계를 제공하는 데 사용할 수 있습니다.
가장 많이 기본 텐서는 0 차 텐서로, 일반적으로 스칼라라고합니다. 표현할 숫자 만 있으면됩니다.
다음은 벡터라고하는 1 차 텐서입니다. 여기에는 두 가지 정보, 즉 값을 지정하기위한 크기와 방향이 필요합니다.
다음은 2 차 텐서이며 지정하려면 크기와 두 방향 / 인덱스가 필요합니다. 공학에서도 가르치는 가장 일반적인 예는 스트레스와 스트레인 텐서입니다.
그러면 왜 텐서가 필요한가요?
스트레스 상태에서 큐브를 고려하세요. 아래 그림과 같습니다.
Z 방향에서 보면 다음과 같습니다.-
이제 오른쪽으로 수평으로 작용하는 10MPa의 스트레스가 있습니다. 내가 무슨 말을하는지 알아낼 수 있나요? 아니요, 정보가 불완전하기 때문입니다.
상기 스트레스가 오른쪽 수직면에 작용했다면 그것은 정상적인 스트레스 일 것입니다. 오른쪽으로 수평으로 작용하는 10MPa의 동일한 응력이 상단 수평면에 작용하면 전단 응력이되며 이는 큰 차이를 만듭니다.
따라서 응력을 완전히 정의하려면 (\ tau\_ {xy}), 각 응력에는 세 가지 정보가 필요합니다.
- 응력의 크기 (정선은 \ sigma, 전단 응력은 \ tau)
- 아래 첨자의 첫 번째 색인에 의해 주어진 얼굴.
- 아래 첨자의 두 번째 색인에 의해 주어진 행동 방향
이 모든 정보는 아래와 같이 행렬로 표현 될 수 있습니다.-
그래서 우리는 스트레스를 2 차 텐서. 변형도 마찬가지입니다.
요구 사항에 따라 더 높은 차수의 텐서를 가질 수 있습니다.
예를 들어, 두 가지 모두 2 차 텐서 인 응력과 변형을 연관 시키려면 아래와 같이 4 차 텐서가 필요합니다.-
{\ sigma\_ {ij}} = [C\_ {ijkl}] {\ epsilon\_ {kl}}
여기, [C\_ { ijkl}]은 강성 행렬을 나타내는 4 차 텐서입니다.
Answer
정확한 답을 드리겠습니다. 숫자 집합이 정사각형 배열로 작성되면 다음과 같이 말합니다. 매트릭스로. 해당 배열의 동일한 숫자 집합을 설명하기 위해 좌표계를 연결한다고 가정하면 동일한 행렬을 텐서로 호출합니다. 따라서 결론은 다음과 같습니다. 좌표축을 참조하지 않고 숫자를 설명하려면 행렬입니다. 좌표 축 (직교 / 구면 / 임의)을 연결하면 텐서와 동일한 배열 집합을 호출합니다.
요점에 도달하면 랭크 2는 숫자를 찾기 위해 두 개의 인덱스가 필요함을 의미합니다. A (i, j)와 같은 배열. 배열에서 숫자를 찾기 위해 세 개의 인덱스 (또는 인덱스)가 필요한 경우 순위 3의 텐서라고 부릅니다. C 언어에서는 2 순위 텐서에 대해 A [4] [4]를 선언하고 A [4 ] [4] [4] 세 번째 텐서의 경우 4 차원 등입니다.
좌표 축을 고정 할 때 계산에 차원 수가 자동으로 입력된다는 점을 기억하는 것이 중요합니다. 얼마나 많은 축을 고정하고 있는지 알 수 있습니다. 3 차원에서는 3 축이 있으며 수학적으로 n 차원에서 n 개의 축까지 이동할 수 있습니다.
d 차원에서는 R 등급의 텐서가됩니다. d ^ R 요소가 있습니다. 이러한 요소는 (d \ times d) 정사각형 행렬로 채워 져야하며 필요한 행렬의 수는 d ^ {R-2}와 같은 d ^ R / d ^ 2와 같습니다.
텐서를 이해하는 또 다른 쉬운 방법 : 벡터에는 크기와 방향이 하나씩 있습니다. 텐서는 여러 크기와 여러 방향을 가지고 있습니다. 특히, 3 차원에서 랭크 2의 텐서는 9 개의 방향을 가진 9 개의 크기를 가지고 있습니다.9 개의 크기는 크기의 정사각형 행렬 (3 \ x 3)로 표시되며 방향은 해당 정사각형 행렬에 고정 된 좌표축에서 가져옵니다.
이를 알기위한 첫 번째 단계입니다. 텐서. 이것이 명확 해지면 텐서의 공식적인 수학적 정의를 진행할 수 있습니다.