Legjobb válasz
Amikor matematikailag valamilyen fizikai mennyiséget akarunk képviselni, látnunk kell, hogy mennyi információra van szükség a ezt a mennyiséget.
Már ismernie kell a skalárok és a tenzorok fogalmát.
Például ha tárgyak tömegéről beszélünk, akkor csak egy számra van szükségünk a érték (természetesen egységgel). Például, ha autóról beszél, akkor azt mondhatja, hogy annak tömege 1200 kg. Csak egy szám elegendő az érték megadásához.
A vektorok esetében a nagyságrenden kívül szükség van az irányára is, amelyben működik, csak ezután legyen teljes információ. Például a sebesség egy vektor, mivel a mondjuk 10 km / h nagyságrenden kívül meg kell adnia, hogy a test melyik irányba mozog. Hasonlóképpen lehet más mennyisége is, ahol további információkra van szüksége az érték teljes adatainak megadásához.
Tehát a tenzorok ez a geometriai tárgyak családja, amelyek vagy segítenek a fizikai mennyiségek ábrázolásában, vagy felhasználhatók a skalárok, vektorok vagy akár más tenzorok közötti kapcsolat biztosítására.
A legtöbb az alaptenzor a nulla sorrendű tenzor, amelyet gyakrabban skalárnak nevezünk. Csak egy számot kell megadni az ábrázolásához.
A következő elsőrendű tenzorok lesznek, amelyeket vektoroknak nevezünk. Ehhez két információra van szükség, azaz nagyságra és irányra az érték megadásához.
A másodrendű tenzorok a következők, amelyek megadásához nagyságrendet és két irányt / indexet kell megadni. A leggyakoribb példa erre, amelyet a mérnöki szak is tanít, a feszültség- és feszültségfeszítők.
Miért van szükségünk feszítőkre?
Vegyünk egy kockát stressz állapotban az alábbiak szerint.
Amikor z irányból nézi, ez így néz ki –
Most azt mondom, hogy 10 MPa feszültség van vízszintesen a jobb oldalon. Kitalálnád, melyikről beszélek? Nem, mivel az információk hiányosak.
Ha az említett stressz a jobb függőleges arcra hatna, az normális stressz lenne. Ha ugyanaz a 10 MPa vízszintesen a jobb oldal felé ható feszültség hatna a vízszintes felső felületre, akkor ez nyírófeszültség lenne, és ez óriási különbséget jelent.
Tehát a stressz teljes definiálásához (\ tau\_ {xy}), mindegyik stresszhez három információra lenne szükség-
- A stressz nagysága (normál esetén \ sigma és nyírófeszültség esetén \ tau adja meg)
- Az arc, amelyen működik, amelyet az index indexének első indexe ad.
- Az irány, amelyben hat, amelyet az index második indexe ad.
Mindezeket az információkat egy mátrix képviselheti az alábbiak szerint –
Tehát a stresszt nevezhetjük másodrendű tenzor. Ugyanaz a törzsnél.
Ehhez hasonlóan az igények alapján magasabb rendű tenzorok is lehetnek.
Például a feszültség és a megterhelés összefüggésére, amelyek mindkettő másodrendű tenzor, akkor Ön szüksége lesz egy negyedik sorrendű tenzorra, az alábbiak szerint –
{\ sigma\_ {ij}} = [C\_ {ijkl}] {\ epsilon\_ {kl}}
Itt, [C\_ { ijkl}] egy negyedik sorrendű tenzor, amely a merevségmátrixot képviseli.
Válasz
Hadd adjak pontos választ: Ha számkészletet írunk négyzet alakú tömbbe, akkor azt mondjuk, hogy mint mátrix. Tegyük fel, hogy ha hozzárendelünk egy koordinátarendszert, hogy leírjuk ugyanabban a tömbben lévő számkészletet, akkor ugyanazt a mátrixot hívjuk meg, mint tenzort. Tehát a következtetés: Ha számokat akarunk leírni anélkül, hogy a koordinátatengelyekre utalnánk, azok mátrixok. Ha koordinátatengelyeket kapcsolunk (derékszögű / gömbös / bármilyen), akkor ugyanazt a tömbhalmazt hívjuk, mint egy tenzort.
A ponthoz érve a 2. rang azt jelenti, hogy két indexre van szükségünk, hogy egy számot megtaláljunk a tömb, mint A (i, j). Ha három indexre (vagy indexre) van szüksége a szám megtalálásához a tömbben, akkor 3. rangú tenzornak hívja. A C nyelvben A [4] [4] értéket deklarálhat a 2. rang tenzorához és A [4 ] [4] [4] egy harmadik rangú tenzorhoz és így tovább, négy dimenzióban.
Fontos megjegyezni, hogy a dimenziók száma automatikusan bekerül a számításba, mert a koordinátatengelyek rögzítésekor Ön tudja, hány tengelyt javít. Három dimenzióban 3 tengely lesz, és matematikailag akár n tengely n-dimenziókban is felmehet.
Megjegyezhetjük, hogy d-dimenziókban egy R rangú tenzor fog vannak d ^ R elemei. Ezeket az elemeket (d \ x d) négyzetmátrixokként kell kitölteni, és az ilyen szükséges mátrixok száma egyenlő d ^ R / d ^ 2 -vel, amely egyenlő d ^ {R-2} -vel.
A tenzorok megértésének másik egyszerű módja: A vektornak egy nagysága és egy iránya van. A tenzornak több nagysága és iránya van. Különösen egy háromdimenziós második rangú tenzor 9 nagysága és 9 iránya van.A kilenc nagyságot négyzet alakú mátrixként mutatják (3 \ szor 3), míg az irányokat az adott négyzetmátrixhoz rögzített koordinátatengelyekről kell venni.
Ez az első lépés a tenzor. Ha ez egyértelmű, folytathatja a tenzor formális matematikai meghatározását.