Paras vastaus
Aina kun haluamme edustaa fyysistä määrää matemaattisesti, meidän on nähtävä, kuinka paljon tietoa tarvitaan arvon määrittämiseksi tämä määrä.
Sinun on jo perehdyttävä skalaarien ja tensorien käsitteeseen.
Jos esimerkiksi puhumme esineiden massoista, tarvitsemme vain yhden numeron määrittelemään arvo (tietyllä yksiköllä). Esimerkiksi, jos puhut autosta, voit sanoa, että sen massa on 1200 kg. Vain luku riittää arvon määrittämiseen.
Vektorien osalta tarvitset suuruuden lisäksi myös suunnan, johon se toimii, vasta sitten sinulla on täydelliset tiedot. Esimerkiksi nopeus on vektori, koska sanotun 10 kmph: n suuruuden lisäksi sinun on määritettävä mihin suuntaan keho liikkuu. Vastaavasti sinulla voi olla joitain muita määriä, joissa tarvitset lisätietoja määrittämään täydelliset tiedot kyseisestä arvosta.
Joten tensorit ovat tämä geometristen esineiden perhe, joka joko auttaa sinua esittämään fyysisiä määriä tai joita voidaan käyttää suhde skalaarien, vektorien tai jopa muiden tensoreiden välillä.
perusjännite on nolla-asteen tensori, jota kutsutaan yleisemmin skalaariksi. Se vaatii vain numeron edustamaan.
Seuraava olisi ensimmäisen asteen tensorit, joita kutsutaan vektoreiksi. Nämä edellyttävät kahta tietoa, ts. Suuruutta ja suuntaa arvon määrittämiseksi.
Seuraavat toisen asteen tensorit vaativat suuruuden ja kaksi suuntaa / indeksiä. Yleisin esimerkki tästä, jota myös tekniikassa opetetaan, ovat jännitys- ja rasitusjännittimet.
Miksi tarvitsemme sitten tensoreita?
Harkitse kuutiota stressitilassa kuten alla on esitetty.
Kun katsot sitä z-suunnasta, se näyttäisi tältä –
Nyt sanon, että 10 MPa: n jännitys vaikuttaa vaakasuoraan kohti oikeaa reunaa. Voisitko selvittää mistä puhun? Ei, koska tiedot ovat epätäydellisiä.
Jos mainittu rasitus vaikuttaisi oikeaan pystysuoraan pintaan, se olisi normaalia stressiä. Jos sama 10 MPa: n jännitys, joka vaikuttaa vaakasuoraan kohti oikeaa puolta, toimisi vaakasuoralla yläpinnalla, se olisi leikkausjännitys, ja sillä on valtava ero.
Joten jännityksen täydellinen määrittäminen (\ tau\_ {xy}), jokainen jännitys tarvitsee kolme tietoa-
- Jännityksen suuruus (antaa normaalilla merkillä \ sigma ja leikkausjännityksellä \ tau)
- Kasvot, joihin se toimii, alaindeksin ensimmäisen hakemiston avulla.
- Suunta, johon se toimii, alaindeksin toisen indeksin antama.
Kaikki nämä tiedot voidaan esittää alla olevalla matriisilla –
Joten voimme kutsua stressiä toisen asteen tensori. Sama rasitukselle.
Samanlainen kuin tässä, vaatimuksen perusteella sinulla voi olla korkeamman asteen tensoreita.
Esimerkiksi jännitteen ja rasituksen, jotka molemmat ovat toisen asteen tensorit, liittämiseksi tarvitsee neljännen kertaluvun tensorin, kuten alla on esitetty –
{\ sigma\_ {ij}} = [C\_ {ijkl}] {\ epsilon\_ {kl}}
Täällä, [C\_ { ijkl}] on neljännen asteen tensori, joka edustaa jäykkyysmatriisia.
Vastaus
Saanen antaa täsmällisen vastauksen: Jos joukko numeroita kirjoitetaan neliötaulukkoihin, sanomme, että matriisina. Oletetaan, että jos liitämme koordinaatistojärjestelmän kuvaamaan samaa taulukkoa, niin kutsumme samaa matriisia kuin tensori. Joten johtopäätös on: Jos haluamme kuvata lukuja viittaamatta koordinaatti-akseleihin, ne ovat matriiseja. Jos kiinnitämme koordinaatti-akselit (suorakulmainen / pallomainen / mikä tahansa), niin kutsumme samaa joukkoa kuin tensori.
Kun tulemme pisteeseen, sijoitus 2 tarkoittaa, että tarvitsemme kaksi hakemistoa numeron löytämiseksi taulukko kuten A (i, j). Jos tarvitset kolme hakemistoa (tai indeksiä) numeron löytämiseksi taulukosta, kutsut sitä numeron 3 tensoriksi. C-kielellä voit ilmoittaa A [4] [4] toisen tason tensorille ja A [4 ] [4] [4] kolmannen tason tensorille ja niin edelleen, neljässä ulottuvuudessa.
On tärkeää muistaa, että ulottuvuuksien lukumäärä syötetään automaattisesti laskentaan, koska kun korjaat koordinaattiakselit, voit tiedä kuinka monta akselia kiinnität. Kolme ulottuvuutta on 3-akselinen ja se voi nousta n: n akselien lukumäärään n-ulottuvuuksissa matemaattisesti.
Voidaan todeta, että d-ulottuvuuksissa rangen R tensori tulee olemaan on d ^ R -elementtejä. Nämä elementit on täytettävä neliömatriiseina (d \ kertaa d) ja tarvittavien matriisien määrä on yhtä suuri kuin d ^ R / d ^ 2, joka on yhtä suuri kuin d ^ {R-2}.
Toinen helppo tapa ymmärtää tensoreita: vektorilla on yksi suuruus ja yksi suunta. Tensorilla on useita suuruuksia ja useita suuntaa. Erityisesti kahden asteen tensorilla kolmessa ulottuvuudessa on 9 suuruutta ja 9 suuntaa.Yhdeksän suuruutta näytetään neliömäisenä matriisina (3 \ kertaa 3), kun taas suunnat on otettava tälle neliömatriisiin kiinnitetyistä koordinaattiakseleista.
Tämä on ensimmäinen askel kohti tensori. Kun tämä on selvää, voit siirtyä tensorin muodolliseen matemaattiseen määrittelyyn.