Mi a második rangú tenzor?


Legjobb válasz

Amikor matematikailag valamilyen fizikai mennyiséget akarunk képviselni, látnunk kell, hogy mennyi információra van szükség a ezt a mennyiséget.

Már ismernie kell a skalárok és a tenzorok fogalmát.

Például ha tárgyak tömegéről beszélünk, akkor csak egy számra van szükségünk a érték (természetesen egységgel). Például, ha autóról beszél, akkor azt mondhatja, hogy annak tömege 1200 kg. Csak egy szám elegendő az érték megadásához.

A vektorok esetében a nagyságrenden kívül szükség van az irányára is, amelyben működik, csak ezután legyen teljes információ. Például a sebesség egy vektor, mivel a mondjuk 10 km / h nagyságrenden kívül meg kell adnia, hogy a test melyik irányba mozog. Hasonlóképpen lehet más mennyisége is, ahol további információkra van szüksége az érték teljes adatainak megadásához.

Tehát a tenzorok ez a geometriai tárgyak családja, amelyek vagy segítenek a fizikai mennyiségek ábrázolásában, vagy felhasználhatók a skalárok, vektorok vagy akár más tenzorok közötti kapcsolat biztosítására.

A legtöbb az alaptenzor a nulla sorrendű tenzor, amelyet gyakrabban skalárnak nevezünk. Csak egy számot kell megadni az ábrázolásához.

A következő elsőrendű tenzorok lesznek, amelyeket vektoroknak nevezünk. Ehhez két információra van szükség, azaz nagyságra és irányra az érték megadásához.

A másodrendű tenzorok a következők, amelyek megadásához nagyságrendet és két irányt / indexet kell megadni. A leggyakoribb példa erre, amelyet a mérnöki szak is tanít, a feszültség- és feszültségfeszítők.

Miért van szükségünk feszítőkre?

Vegyünk egy kockát stressz állapotban az alábbiak szerint.

Amikor z irányból nézi, ez így néz ki –

Most azt mondom, hogy 10 MPa feszültség van vízszintesen a jobb oldalon. Kitalálnád, melyikről beszélek? Nem, mivel az információk hiányosak.

Ha az említett stressz a jobb függőleges arcra hatna, az normális stressz lenne. Ha ugyanaz a 10 MPa vízszintesen a jobb oldal felé ható feszültség hatna a vízszintes felső felületre, akkor ez nyírófeszültség lenne, és ez óriási különbséget jelent.

Tehát a stressz teljes definiálásához (\ tau\_ {xy}), mindegyik stresszhez három információra lenne szükség-

  1. A stressz nagysága (normál esetén \ sigma és nyírófeszültség esetén \ tau adja meg)
  2. Az arc, amelyen működik, amelyet az index indexének első indexe ad.
  3. Az irány, amelyben hat, amelyet az index második indexe ad.

Mindezeket az információkat egy mátrix képviselheti az alábbiak szerint –

Tehát a stresszt nevezhetjük másodrendű tenzor. Ugyanaz a törzsnél.

Ehhez hasonlóan az igények alapján magasabb rendű tenzorok is lehetnek.

Például a feszültség és a megterhelés összefüggésére, amelyek mindkettő másodrendű tenzor, akkor Ön szüksége lesz egy negyedik sorrendű tenzorra, az alábbiak szerint –

{\ sigma\_ {ij}} = [C\_ {ijkl}] {\ epsilon\_ {kl}}

Itt, [C\_ { ijkl}] egy negyedik sorrendű tenzor, amely a merevségmátrixot képviseli.

Válasz

Hadd adjak pontos választ: Ha számkészletet írunk négyzet alakú tömbbe, akkor azt mondjuk, hogy mint mátrix. Tegyük fel, hogy ha hozzárendelünk egy koordinátarendszert, hogy leírjuk ugyanabban a tömbben lévő számkészletet, akkor ugyanazt a mátrixot hívjuk meg, mint tenzort. Tehát a következtetés: Ha számokat akarunk leírni anélkül, hogy a koordinátatengelyekre utalnánk, azok mátrixok. Ha koordinátatengelyeket kapcsolunk (derékszögű / gömbös / bármilyen), akkor ugyanazt a tömbhalmazt hívjuk, mint egy tenzort.

A ponthoz érve a 2. rang azt jelenti, hogy két indexre van szükségünk, hogy egy számot megtaláljunk a tömb, mint A (i, j). Ha három indexre (vagy indexre) van szüksége a szám megtalálásához a tömbben, akkor 3. rangú tenzornak hívja. A C nyelvben A [4] [4] értéket deklarálhat a 2. rang tenzorához és A [4 ] [4] [4] egy harmadik rangú tenzorhoz és így tovább, négy dimenzióban.

Fontos megjegyezni, hogy a dimenziók száma automatikusan bekerül a számításba, mert a koordinátatengelyek rögzítésekor Ön tudja, hány tengelyt javít. Három dimenzióban 3 tengely lesz, és matematikailag akár n tengely n-dimenziókban is felmehet.

Megjegyezhetjük, hogy d-dimenziókban egy R rangú tenzor fog vannak d ^ R elemei. Ezeket az elemeket (d \ x d) négyzetmátrixokként kell kitölteni, és az ilyen szükséges mátrixok száma egyenlő d ^ R / d ^ 2 -vel, amely egyenlő d ^ {R-2} -vel.

A tenzorok megértésének másik egyszerű módja: A vektornak egy nagysága és egy iránya van. A tenzornak több nagysága és iránya van. Különösen egy háromdimenziós második rangú tenzor 9 nagysága és 9 iránya van.A kilenc nagyságot négyzet alakú mátrixként mutatják (3 \ szor 3), míg az irányokat az adott négyzetmátrixhoz rögzített koordinátatengelyekről kell venni.

Ez az első lépés a tenzor. Ha ez egyértelmű, folytathatja a tenzor formális matematikai meghatározását.

Vélemény, hozzászólás?

Az email címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöltük