Migliore risposta
Ogni volta che vogliamo rappresentare matematicamente una quantità fisica, dobbiamo vedere quante informazioni sono necessarie per specificare il valore di quella quantità.
Devi già avere familiarità con il concetto di scalari e tensori.
Ad esempio, se stiamo parlando di masse di oggetti, allora abbiamo bisogno di un solo numero per definire il valore (con ununità ovviamente). Ad esempio, se stai parlando di unauto, potresti dire che ha una massa di 1200 kg. Basta un numero per specificarne il valore.
Per i vettori, a parte la grandezza, è necessaria anche la direzione in cui agisce, solo allora si hanno informazioni complete su. Ad esempio, la velocità è un vettore, poiché a parte la magnitudine diciamo 10 km / h, è necessario specificare in quale direzione si sta muovendo il corpo. Allo stesso modo si potrebbero avere altre quantità in cui sono necessarie più informazioni per specificare le informazioni complete su quel valore.
Quindi i tensori sono questa famiglia di oggetti geometrici, che ti aiutano a rappresentare quantità fisiche, o possono essere usati per fornire una relazione tra scalari, vettori o anche altri tensori.
La maggior parte il tensore di base è il tensore di ordine zero, più comunemente chiamato scalare. Richiede solo un numero da rappresentare.
Il prossimo sarebbe tensori del primo ordine, chiamati vettori. Questi richiedono due informazioni, ovvero grandezza e direzione per specificare il valore.
I tensori del secondo ordine sono i successivi, richiedendo magnitudine e due direzioni / indici da specificare. Lesempio più comune di questo, che viene insegnato anche in ingegneria, sono i tensori di sollecitazione e deformazione.
Allora perché abbiamo bisogno di tensori?
Considera un cubo in uno stato di stress come mostrato di seguito.
Quando lo guardi dalla direzione Z, avrà questo aspetto –
Ora ti dico, cè uno stress di 10 MPa che agisce orizzontalmente verso il lato destro. Riuscite a capire di quale sto parlando? No, perché le informazioni sono incomplete.
Se il suddetto stress agisse sulla faccia verticale destra, sarebbe uno stress normale. Se la stessa sollecitazione di 10 MPa che agisce orizzontalmente verso il lato destro agisse sulla superficie orizzontale superiore, sarebbe una sollecitazione di taglio, e questo fa unenorme differenza.
Quindi, per definire completamente la sollecitazione (\ tau\_ {xy}), ciascuna sollecitazione richiederebbe tre informazioni-
- Lentità della sollecitazione (data da \ sigma per le sollecitazioni normali e \ tau per le sollecitazioni di taglio)
- La faccia su cui agisce, data dal primo indice del pedice.
- La direzione in cui agisce, data dal secondo indice del pedice.
Tutte queste informazioni possono essere rappresentate da una matrice come mostrato di seguito –
Quindi, possiamo chiamare stress come un tensore del secondo ordine. Lo stesso per la deformazione.
Simile a questo, in base ai requisiti puoi avere tensori di ordine superiore.
Ad esempio, per mettere in relazione stress e deformazione, entrambi tensori del secondo ordine, devi avrà bisogno di un tensore del quarto ordine come mostrato di seguito –
{\ sigma\_ {ij}} = [C\_ {ijkl}] {\ epsilon\_ {kl}}
Qui, [C\_ { ijkl}] è un tensore del quarto ordine che rappresenta la matrice di rigidità.
Risposta
Lasciami dare una risposta precisa: se un insieme di numeri è scritto in un array quadrato, diciamo che come una matrice. Supponiamo di associare un sistema di coordinate per descrivere lo stesso insieme di numeri in quellarray, quindi chiamiamo la stessa matrice come tensore. Quindi, la conclusione è: se vogliamo descrivere i numeri senza fare riferimento alle coordinate degli assi, sono matrici. Se colleghiamo gli assi delle coordinate (cartesiano / sferico / qualsiasi), allora chiamiamo lo stesso insieme di array come tensore.
Arrivando al punto, il rango 2 significa che abbiamo bisogno di due indici per individuare un numero nel array come A (i, j). Se hai bisogno di tre indici (o indici) per individuare un numero nellarray, chiamalo come un tensore di rango 3. Nel linguaggio C, puoi dichiarare A [4] [4] per il tensore di 2 ° rango e A [4 ] [4] [4] per un tensore di terzo rango e così via, in quattro dimensioni.
È importante ricordare che il numero di dimensioni entra automaticamente nel calcolo perché quando si fissano gli assi delle coordinate, sapere quanti assi stai fissando. In tre dimensioni, ci saranno 3 assi e può arrivare fino a n numero di assi in n dimensioni, matematicamente.
Si può notare che in d-dimensioni, un tensore di rango R sarà avere elementi d ^ R. Questi elementi devono essere riempiti come (d \ times d) matrici quadrate e il numero di tali matrici richieste è uguale a d ^ R / d ^ 2 che è uguale a d ^ {R-2}.
Un altro modo semplice per comprendere i tensori: un vettore ha una grandezza e una direzione. Un tensore ha più magnitudini e più direzioni. In particolare, un tensore di rango due in tre dimensioni ha 9 magnitudini con 9 direzioni.Le nove grandezze sono mostrate come una matrice quadrata di dimensione (3 \ volte 3), mentre le direzioni devono essere prese dalle coordinate degli assi fissati a quella matrice quadrata.
Questo è il primo passo per conoscere una tensore. Una volta che questo è chiaro, puoi procedere alla definizione matematica formale di tensore.