Melhor resposta
Sempre que quisermos representar alguma quantidade física matematicamente, precisamos ver quanta informação é necessária para especificar o valor de essa quantidade.
Você já deve estar familiarizado com o conceito de escalares e tensores.
Por exemplo, se estamos falando sobre massas de objetos, precisamos apenas de um número para definir o valor (com uma unidade de curso). Por exemplo, se você está falando sobre um carro, pode dizer que ele tem uma massa de 1200 kgs. Basta um número para especificar seu valor.
Para vetores, além da magnitude, você também precisa da direção em que está agindo, só então você terá informações completas sobre. Por exemplo, a velocidade é um vetor, pois além da magnitude de, digamos, 10 km / h, você precisa especificar em qual direção o corpo está se movendo. Da mesma forma, você pode ter algumas outras quantidades onde você precisa de mais informações para especificar as informações completas sobre esse valor.
Então, tensores são esta família de objetos geométricos, que ajudam a representar quantidades físicas, ou podem ser usados para fornecer uma relação entre escalares, vetores ou até mesmo outros tensores.
O máximo tensor básico é o tensor de ordem zero, mais comumente chamado de escalar. Requer apenas um número para representar.
O próximo seria tensores de primeira ordem, chamados vetores. Isso requer duas informações, ou seja, magnitude e direção para especificar o valor.
Os tensores de segunda ordem são os próximos, exigindo magnitude e duas direções / índices para especificar. O exemplo mais comum disso, que também é ensinado em engenharia, são os tensores de tensão e deformação.
Então, por que precisamos dos tensores?
Considere um cubo sob um estado de tensão como mostrado abaixo.
Quando você está olhando da direção z, ficaria assim –
Agora eu digo a você, há uma tensão de 10 MPa agindo horizontalmente para o lado direito. Você poderia descobrir de qual estou falando? Não, porque a informação está incompleta.
Se o referido estresse estivesse agindo na face vertical correta, seria um estresse normal. Se a mesma tensão de 10 MPa agindo horizontalmente para o lado direito estivesse agindo na superfície horizontal superior, seria uma tensão de cisalhamento, e isso faz uma enorme diferença.
Então, para definir completamente a tensão (\ tau\_ {xy}), cada tensão precisaria de três informações-
- A magnitude da tensão (dada por \ sigma para tensões normais e \ tau para tensões de cisalhamento)
- A face sobre a qual está agindo, dada pelo primeiro índice do subscrito.
- A direção em que está agindo, dada pelo segundo índice do subscrito.
Todas essas informações podem ser representadas por uma matriz, conforme mostrado abaixo –
Portanto, podemos chamar o estresse como um tensor de segunda ordem. O mesmo para deformação.
Semelhante a isso, com base no requisito, você pode ter tensores de ordem superior.
Por exemplo, para relacionar tensão e deformação, ambas tensores de segunda ordem, você precisará de um tensor de quarta ordem conforme mostrado abaixo –
{\ sigma\_ {ij}} = [C\_ {ijkl}] {\ epsilon\_ {kl}}
Aqui, [C\_ { ijkl}] é um tensor de quarta ordem que representa a matriz de rigidez.
Resposta
Deixe-me dar uma resposta precisa: Se um conjunto de números é escrito em uma matriz quadrada, dizemos que como uma matriz. Suponha que se anexarmos um sistema de coordenadas para descrever o mesmo conjunto de números nesse array, chamemos a mesma matriz de tensor. Portanto, a conclusão é: se quisermos descrever números sem nos referir aos eixos coordenados, eles são matrizes. Se anexarmos eixos de coordenadas (cartesiano / esférico / qualquer), chamaremos o mesmo conjunto de matriz como um tensor.
Chegando ao ponto, a classificação 2 significa que precisamos de dois índices para localizar um número no array como A (i, j). Se você precisa de três índices (ou índices) para localizar um número na matriz, você o chama de tensor de classificação 3. Na linguagem C, você pode declarar A [4] [4] para tensor de segunda classificação e A [4 ] [4] [4] para um tensor de terceira linha e assim por diante, em quatro dimensões.
É importante lembrar que o número de dimensões entra automaticamente no cálculo porque quando você fixa os eixos coordenados, você saiba quantos eixos você está consertando. Em três dimensões, haverá 3 eixos e pode ir até n número de eixos em n dimensões, matematicamente.
Pode-se notar que em dimensões d, um tensor de classificação R irá têm elementos d ^ R. Esses elementos devem ser preenchidos como (d \ vezes d) matrizes quadradas e o número de tais matrizes necessárias é igual a d ^ R / d ^ 2 que é igual a d ^ {R-2}.
Outra maneira fácil de entender tensores: um vetor tem uma magnitude e uma direção. Um tensor possui múltiplas magnitudes e múltiplas direções. Em particular, um tensor de classificação dois em três dimensões tem 9 magnitudes com 9 direções.As nove magnitudes são mostradas como uma matriz quadrada de tamanho (3 \ vezes 3), enquanto as direções devem ser tomadas a partir dos eixos de coordenadas fixados nessa matriz quadrada.
Este é o primeiro passo para conhecer um tensor. Uma vez que isso esteja claro, você pode prosseguir para a definição matemática formal de tensor.