Cel mai bun răspuns
Ori de câte ori dorim să reprezentăm matematic o anumită mărime fizică, trebuie să vedem câte informații sunt necesare pentru a specifica valoarea acea cantitate.
Trebuie să fiți deja familiarizați cu conceptul de scalari și tensori.
De exemplu, dacă vorbim despre mase de obiecte, atunci avem nevoie de un singur număr pentru a defini valoare (cu o unitate desigur). De exemplu, dacă vorbiți despre o mașină, ați putea spune că are o masă de 1200 kg. Doar un număr este suficient pentru a specifica valoarea acestuia.
Pentru vectori, în afară de magnitudine, aveți nevoie și de direcția în care acționează, numai atunci aveți informații complete despre. De exemplu, viteza este un vector, deoarece, în afară de magnitudinea de 10 km / h, trebuie să specificați în ce direcție se mișcă corpul. În mod similar, puteți avea alte cantități în care aveți nevoie de mai multe informații pentru a specifica informațiile complete despre acea valoare.
Deci, tensorii sunt această familie de obiecte geometrice, care fie vă ajută să reprezentați mărimi fizice, fie pot fi folosiți pentru a furniza o relație între scalari, vectori sau chiar și alți tensori.
tensorul de bază este tensorul de ordine zero, mai frecvent numit scalar. Este nevoie doar de un număr pentru a fi reprezentat.
Următorul ar fi tensori de ordinul întâi, numiți vectori. Acestea necesită două informații, adică mărimea și direcția pentru a specifica valoarea.
Tensorii de ordinul doi sunt următorii, necesitând mărimea și două direcții / indici pentru a specifica. Cel mai frecvent exemplu în acest sens, care este predat și în inginerie, sunt tensorii de tensiune și tensiune.
Deci, de ce avem nevoie de tensori?
Luați în considerare un cub sub o stare de solicitare așa cum se arată mai jos.
Când îl priviți din direcția z, ar arăta astfel –
Acum vă spun că există o tensiune de 10 MPa care acționează orizontal spre partea dreaptă. Ai putea să-ți dai seama despre care vorbesc? Nu, deoarece informațiile sunt incomplete.
Dacă tensiunea menționată ar acționa pe fața verticală dreaptă, ar fi o tensiune normală. Dacă aceeași tensiune de 10 MPa care acționează orizontal spre partea dreaptă acționează asupra suprafeței orizontale superioare, ar fi o solicitare de forfecare, ceea ce face o mare diferență.
Deci, pentru a defini complet tensiunea (\ tau\_ {xy}), fiecare solicitare ar avea nevoie de trei informații-
- Magnitudinea solicitării (dată de \ sigma pentru normal și \ tau pentru solicitări de forfecare)
- Fața pe care acționează, dată de primul index din subscript.
- Direcția în care acționează, dată de al doilea index din subscript.
Toate aceste informații pot fi reprezentate printr-o matrice așa cum se arată mai jos –
Deci, putem numi stresul ca tensorul de ordinul doi. La fel pentru deformare.
Similar cu aceasta, pe baza cerinței, puteți avea tensori de ordin superior.
De exemplu, pentru a raporta tensiunea și deformarea, ambii fiind tensori de ordinul doi, va avea nevoie de un tensor de ordinul patru, așa cum se arată mai jos –
{\ sigma\_ {ij}} = [C\_ {ijkl}] {\ epsilon\_ {kl}}
Aici, [C\_ { ijkl}] este un tensor de ordinul patru care reprezintă matricea de rigiditate.
Răspuns
Permiteți-mi să dau un răspuns precis: Dacă un set de numere sunt scrise într-o matrice pătrată, spunem că ca matrice. Să presupunem că dacă atașăm un sistem de coordonate pentru a descrie același set de numere din acea matrice, atunci apelăm aceeași matrice ca un tensor. Deci, concluzia este: Dacă vrem să descriem numere fără a ne referi la axe de coordonate, acestea sunt matrice. Dacă atașăm axe de coordonate (cartezian / sferic / oricare), atunci apelăm același set de matrice ca tensor.
Venind la punct, rangul 2 înseamnă că avem nevoie de doi indici pentru a localiza un număr în matrice precum A (i, j). Dacă aveți nevoie de trei indici (sau indici) pentru a localiza un număr în matrice, îl numiți ca tensor de rang 3. În limbajul C, puteți declara A [4] [4] pentru tensorul de rangul II și A [4] ] [4] [4] pentru un al treilea tensor de rang și așa mai departe, în patru dimensiuni.
Este important să ne amintim că numărul de dimensiuni intră automat în calcul, deoarece atunci când fixați axele de coordonate, știi câte axe fixezi. În trei dimensiuni, vor exista 3 axe și poate merge până la n număr de axe în n-dimensiuni, matematic.
Se poate observa că în dimensiunile d, un tensor de rang R va au elemente d ^ R. Aceste elemente trebuie completate ca (d \ times d) matrici pătrate și numărul de astfel de matrice necesare este egal cu d ^ R / d ^ 2 care este egal cu d ^ {R-2}.
Un alt mod ușor de a înțelege tensorii: Un vector are o singură magnitudine și o direcție. Un tensor are mai multe magnitudini și direcții multiple. În special, un tensor de rangul doi în trei dimensiuni are 9 magnitudini cu 9 direcții.Cele nouă magnitudini sunt prezentate ca o matrice pătrată de dimensiuni (de 3 \ ori 3), în timp ce direcțiile trebuie luate din axele de coordonate fixate la acea matrice pătrată.
Acesta este primul pas către cunoașterea unui tensor. Odată ce acest lucru este clar, puteți trece la definiția matematică formală a tensorului.