Bästa svaret
Närhelst vi vill representera någon fysisk kvantitet matematiskt måste vi se hur mycket information som behövs för att ange värdet på den kvantiteten.
Du måste redan känna till begreppet skalar och tensorer.
Till exempel om vi talar om massor av objekt, behöver vi bara ett nummer för att definiera värde (med en enhet förstås). Om du till exempel pratar om en bil kan du säga att den har en massa på 1200 kg. Bara ett nummer räcker för att ange dess värde.
För vektorer, förutom storleken, behöver du också den riktning det verkar i, först då har du fullständig information om. Till exempel är hastighet en vektor, förutom storleken på säg 10 kmph, måste du ange vilken riktning kroppen rör sig i. På samma sätt kan du ha några andra kvantiteter där du behöver mer information för att specificera den fullständiga informationen om det värdet.
Så tensorer är den här familjen av geometriska objekt, som antingen hjälper dig att representera fysiska kvantiteter eller kan användas för att skapa en relation mellan skalar, vektorer eller till och med andra tensorer.
Det mest grundtensor är nollordningens tensor, oftare kallad skalär. Det kräver bara ett nummer som ska representeras.
Nästa skulle vara första ordningens tensorer, kallade vektorer. Dessa kräver två bitar av information, dvs storlek och riktning för att ange värdet.
Andra ordningens tensorer är nästa, vilket kräver storlek och två riktningar / index för att specificera. Det vanligaste exemplet på detta, som också lärs ut inom teknik, är spännings- och töjningstensorer.
Så varför behöver vi tensorer?
Tänk på en kub under ett tillstånd av stress som visas nedan.
När du tittar på det från z-riktning skulle det se ut så här –
Nu säger jag er, det är en spänning på 10 MPa som verkar horisontellt mot höger sida. Kan du ta reda på vilken jag pratar om? Nej, eftersom informationen är ofullständig.
Om nämnda spänning verkade på rätt vertikalt ansikte skulle det vara en normal spänning. Om samma spänning på 10 MPa som verkar horisontellt mot höger sida verkade på den översta horisontella ytan, skulle det vara en skjuvspänning, och detta gör en enorm skillnad.
Så för att fullständigt definiera spänningen (\ tau\_ {xy}), skulle varje spänning behöva tre informationsstycken-
- Stressens storlek (ges av \ sigma för normal och \ tau för skjuvspänningar)
- Ansiktet på vilket det agerar, ges av det första indexet i prenumerationen.
- Riktningen i vilket det agerar, ges av det andra indexet i prenumerationen.
All denna information kan representeras av en matris som visas nedan –
Så, vi kan kalla stress som en andra ordningens tensor. Samma för töjning.
Liknar detta, baserat på krav kan du ha högre ordningstensorer.
Till exempel, för att relatera stress och töjning, som båda är andra ordens tensorer, du kommer att behöva en fjärde ordningens tensor enligt nedan –
{\ sigma\_ {ij}} = [C\_ {ijkl}] {\ epsilon\_ {kl}}
Här, [C\_ { ijkl}] är en fjärde ordningens tensor som representerar styvhetsmatrisen.
Svar
Låt mig ge ett exakt svar: Om en uppsättning siffror skrivs i en kvadratisk matris säger vi att som en matris. Antag att om vi fäster ett koordinatsystem för att beskriva samma uppsättning siffror i den matrisen, så kallar vi samma matris som en tensor. Så slutsatsen är: Om vi vill beskriva tal utan att hänvisa till koordinataxlar är de matriser. Om vi fäster koordinataxlar (kartesisk / sfärisk / vilken som helst), så kallar vi samma uppsättning matris som en tensor.
När vi kommer till punkten betyder rang 2 att vi behöver två index för att hitta ett tal i array som A (i, j). Om du behöver tre index (eller index) för att hitta ett nummer i matrisen, kallar du det som en tensor av rang 3. I C-språket kan du förklara A [4] [4] för 2: a rank tensor och A [4 ] [4] [4] för en tredje rang tensor och så vidare, i fyra dimensioner.
Det är viktigt att komma ihåg att antalet dimensioner automatiskt matas in i beräkningen, för när du fixar koordinataxlarna vet hur många axlar du fixar. I tre dimensioner kommer det att finnas 3-axlar och det kan gå upp till n antal axlar i n-dimensioner, matematiskt.
Det kan noteras att i d-dimensioner kommer en tensor av rang R att har d ^ R-element. Dessa element ska fyllas som (d \ gånger d) kvadratmatriser och antalet sådana matriser som krävs är lika med d ^ R / d ^ 2 vilket är lika med d ^ {R-2}.
Ett annat enkelt sätt att förstå tensorer: En vektor har en storlek och en riktning. En tensor har flera magnituder och flera riktningar. I synnerhet har en tensor av rang två i tre dimensioner 9 magnituder med 9 riktningar.De nio storheterna visas som en kvadratmatris av storlek (3 \ gånger 3), medan riktningarna ska tas från koordinataxlarna som är fixerade till den kvadratiska matrisen.
Detta är det första steget mot att känna till en tensor. När detta är klart kan du gå vidare till en formell matematisk definition av tensor.