Beste Antwort
Wann immer wir eine physikalische Größe mathematisch darstellen möchten, müssen wir sehen, wie viele Informationen benötigt werden, um den Wert von anzugeben diese Menge.
Sie müssen bereits mit dem Konzept von Skalaren und Tensoren vertraut sein.
Wenn wir beispielsweise über Massen von Objekten sprechen, benötigen wir nur eine Zahl, um die zu definieren Wert (mit einer Einheit natürlich). Wenn Sie beispielsweise von einem Auto sprechen, können Sie sagen, dass es eine Masse von 1200 kg hat. Nur eine Zahl reicht aus, um ihren Wert anzugeben.
Für Vektoren benötigen Sie neben der Größe auch die Richtung, in die sie wirken. Erst dann verfügen Sie über vollständige Informationen zu. Zum Beispiel ist Geschwindigkeit ein Vektor, da Sie neben einer Größe von beispielsweise 10 km / h angeben müssen, in welche Richtung sich der Körper bewegt. Ebenso können Sie einige andere Größen angeben, bei denen Sie weitere Informationen benötigen, um die vollständigen Informationen zu diesem Wert anzugeben.
Tensoren sind also diese Familie geometrischer Objekte, die Ihnen entweder bei der Darstellung physikalischer Größen helfen oder verwendet werden können, um eine Beziehung zwischen Skalaren, Vektoren oder sogar anderen Tensoren herzustellen.
Die meisten Der Basistensor ist der Tensor nullter Ordnung, der üblicherweise als Skalar bezeichnet wird. Für die Darstellung ist lediglich eine Zahl erforderlich.
Die nächsten sind Tensoren erster Ordnung, die als Vektoren bezeichnet werden. Diese erfordern zwei Informationen, d. H. Größe und Richtung, um den Wert anzugeben.
Tensoren zweiter Ordnung sind die nächsten, für deren Angabe Größe und zwei Richtungen / Indizes erforderlich sind. Das häufigste Beispiel dafür, das auch in der Technik gelehrt wird, sind die Spannungs- und Dehnungstensoren.
Warum brauchen wir also Tensoren?
Betrachten Sie einen Würfel unter einem Spannungszustand wie unten gezeigt.
Wenn Sie es aus z-Richtung betrachten, würde es so aussehen –
Nun sage ich Ihnen, es gibt eine Spannung von 10 MPa, die horizontal nach rechts wirkt. Könnten Sie herausfinden, von welchem ich spreche? Nein, da die Informationen unvollständig sind.
Wenn die besagte Spannung auf die rechte vertikale Fläche einwirkt, handelt es sich um eine normale Spannung. Wenn die gleiche Spannung von 10 MPa, die horizontal zur rechten Seite wirkt, auf die obere horizontale Fläche wirkt, wäre dies eine Scherspannung, und dies macht einen großen Unterschied.
Um die Spannung vollständig zu definieren (\ tau\_ {xy}), jede Spannung würde drei Informationen benötigen –
- Die Größe der Spannung (gegeben durch \ sigma für normale und \ tau für Scherspannungen)
- Das Gesicht, auf das es wirkt, gegeben durch den ersten Index im Index.
- Die Richtung, in der es wirkt, gegeben durch den zweiten Index im Index.
Alle diese Informationen können wie unten gezeigt durch eine Matrix dargestellt werden –
Wir können Stress also als a bezeichnen Tensor zweiter Ordnung. Gleiches gilt für die Dehnung.
Ähnlich können Sie je nach Anforderung Tensoren höherer Ordnung verwenden.
Um beispielsweise Spannung und Dehnung in Beziehung zu setzen, die beide Tensoren zweiter Ordnung sind, sind Sie benötigt einen Tensor vierter Ordnung wie unten gezeigt –
{\ sigma\_ {ij}} = [C\_ {ijkl}] {\ epsilon\_ {kl}}
Hier [C\_ { ijkl}] ist ein Tensor vierter Ordnung, der die Steifheitsmatrix darstellt.
Antwort
Lassen Sie mich eine genaue Antwort geben: Wenn eine Reihe von Zahlen in einem quadratischen Array geschrieben ist, sagen wir das als Matrix. Angenommen, wir fügen ein Koordinatensystem hinzu, um denselben Satz von Zahlen in diesem Array zu beschreiben, dann nennen wir dieselbe Matrix wie einen Tensor. Die Schlussfolgerung lautet also: Wenn wir Zahlen beschreiben wollen, ohne auf Koordinatenachsen Bezug zu nehmen, sind sie Matrizen. Wenn wir Koordinatenachsen (kartesisch / sphärisch / beliebig) anhängen, nennen wir dieselbe Menge von Arrays wie einen Tensor.
Wenn wir auf den Punkt kommen, bedeutet Rang 2, dass wir zwei Indizes benötigen, um eine Zahl in der zu lokalisieren Array wie A (i, j). Wenn Sie drei Indizes (oder Indizes) benötigen, um eine Zahl im Array zu finden, nennen Sie sie einen Tensor mit Rang 3. In der Sprache C können Sie A [4] [4] für Tensor 2. Rang und A [4] deklarieren ] [4] [4] für einen Tensor dritten Ranges usw. in vier Dimensionen.
Es ist wichtig zu beachten, dass die Anzahl der Dimensionen automatisch in die Berechnung einfließt, da Sie beim Festlegen der Koordinatenachsen wissen, wie viele Achsen Sie reparieren. In drei Dimensionen gibt es 3 Achsen und es kann mathematisch bis zu n Achsen in n-Dimensionen reichen.
Es kann angemerkt werden, dass in d-Dimensionen ein Tensor vom Rang R wird habe d ^ R Elemente. Diese Elemente sind als (d \ mal d) quadratische Matrizen zu füllen, und die Anzahl der erforderlichen Matrizen ist gleich d ^ R / d ^ 2, was gleich d ^ {R-2} ist.
Eine weitere einfache Möglichkeit, Tensoren zu verstehen: Ein Vektor hat eine Größe und eine Richtung. Ein Tensor hat mehrere Größen und mehrere Richtungen. Insbesondere hat ein Tensor vom Rang zwei in drei Dimensionen 9 Größen mit 9 Richtungen.Die neun Größen werden als quadratische Matrix der Größe (3 mal 3) angezeigt, während die Richtungen von den an dieser quadratischen Matrix festgelegten Koordinatenachsen genommen werden müssen.
Dies ist der erste Schritt zur Kenntnis von a Tensor. Sobald dies klar ist, können Sie mit der formalen mathematischen Definition des Tensors fortfahren.