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物理量を数学的に表現する場合は常に、の値を指定するために必要な情報量を確認する必要があります。その量。
スカラーとテンソルの概念に既に精通している必要があります。
たとえば、オブジェクトの質量について話している場合、定義するのに必要な数値は1つだけです。値（もちろん単位付き）。たとえば、車について話している場合、その質量は1200kgであると言えます。その値を指定するには、数値だけで十分です。
ベクトルの場合、大きさの他に、作用する方向も必要です。その場合にのみ、に関する完全な情報が得られます。たとえば、速度はベクトルです。たとえば、時速10 kmの大きさは別として、体が移動する方向を指定する必要があります。同様に、その値に関する完全な情報を指定するために、より多くの情報が必要な他の量もあります。
つまり、テンソルはこの幾何学的オブジェクトのファミリーであり、物理的な量を表すのに役立つか、スカラー、ベクトル、または他のテンソル間の関係を提供するために使用できます。
最も基本テンソルはゼロ次テンソルであり、より一般的にはスカラーと呼ばれます。表すには数字が必要です。
次は、ベクトルと呼ばれる1次テンソルです。これらには、値を指定するために2つの情報、つまり大きさと方向が必要です。
次は2次テンソルで、指定するには大きさと2つの方向/指数が必要です。工学でも教えられているこの最も一般的な例は、応力テンソルとひずみテンソルです。
では、なぜテンソルが必要なのですか？
応力状態にある立方体を考えてみてください。以下に示すように。
z方向から見ると、次のようになります-
さて、右側に向かって水平に作用する10MPaの応力があります。私が話しているのはどれかわかりますか？いいえ、情報が不完全であるためです。
上記の応力が右側の垂直面に作用している場合、それは通常の応力になります。右側に向かって水平に作用する10MPaの同じ応力が上部の水平面に作用する場合、それはせん断応力になり、これは大きな違いになります。
したがって、応力を完全に定義するには（\ tau\_ {xy}）、各応力には3つの情報が必要です-
- 応力の大きさ（通常の場合は\ sigma、せん断応力の場合は\ tauで指定）
- 下付き文字の最初のインデックスによって与えられる、それが作用している面。
- 下付き文字の2番目のインデックスによって与えられる、それが作用している方向。
このすべての情報は、次のように行列で表すことができます-
したがって、応力を二次テンソル。ひずみについても同じです。
これと同様に、要件に基づいて、より高次のテンソルを使用できます。
たとえば、応力とひずみを関連付けるには、どちらも2次テンソルです。以下に示すように、4次テンソルが必要になります-
{\ sigma\_ {ij}} = [C\_ {ijkl}] {\ epsilon\_ {kl}}
ここでは、[C\_ { ijkl}]は、剛性行列を表す4次テンソルです。
回答
正確な答えを示しましょう。一連の数値が正方形の配列で記述されている場合、次のようになります。行列として。その配列内の同じ数のセットを記述するために座標系をアタッチすると、同じ行列をテンソルと呼びます。したがって、結論は次のとおりです。座標軸を参照せずに数値を記述したい場合、それらは行列です。座標軸（デカルト/球/任意）をアタッチする場合、テンソルと同じ配列のセットを呼び出します。
要点を言えば、ランク2は、数値を見つけるために2つのインデックスが必要であることを意味します。 A（i、j）のような配列。配列内の数値を見つけるために3つのインデックス（または複数のインデックス）が必要な場合は、それをランク3のテンソルと呼びます。C言語では、2番目のランクのテンソルに対してA [4] [4]を宣言し、A [4]を宣言できます。 ] [4] [4]は、4次元の3階テンソルなどです。
座標軸を固定すると、次元数が自動的に計算に入力されることに注意してください。固定している軸の数を知っています。 3次元では、3軸が存在し、数学的にはn次元で最大n個の軸になります。
d次元では、ランクRのテンソルは次のようになります。 d ^ R要素があります。これらの要素は（d \ times d）正方行列として入力され、必要なそのような行列の数はd ^ R / d ^ 2に等しく、これはd ^ {R-2}に等しくなります。
テンソルを理解するもう1つの簡単な方法：ベクトルには1つの大きさと1つの方向があります。テンソルには、複数の大きさと複数の方向があります。特に、3次元でランク2のテンソルは、9つの方向で9つの大きさを持ちます。9つの大きさは、サイズ（3 \ times 3）の正方行列として示されますが、方向は、その正方行列に固定された座標軸から取得されます。
これは、を知るための最初のステップです。 テンソル。 これが明確になったら、テンソルの正式な数学的定義に進むことができます。