Nejlepší odpověď
Právě jsem odpověděl na podobnou otázku. Spíše než replikovat své úsilí, zde vystřihnu a vložím svoji odpověď na tuto otázku. Omluvte prosím moji lenost a buďte si jisti, že princip je přesně stejný. Otázka zněla
Jaká jsou další tři čísla v pořadí 2,7,16,29,46?
Moje odpověď na tuto otázku následuje …
Další tři čísla v pořadí 2, 7, 16, 29, 46 jsou libovolná tři čísla, která si přejete. Důvod: vzhledem k tomu, n bodů v rovině se zřetelnými x hodnotami, polynomem existuje stupeň menší než n , který body interpoluje.
Výrazy vaší posloupnosti lze brát jako y – hodnoty 5 bodů v rovině. Co jsou hodnoty x ? Mohou to být libovolná čísla, která chcete, ale pro větší pohodlí je vezměte 1, 2, 3, 4 a 5. Spárujte je s podmínkami vaší posloupnosti, pokud si to přejete (opět kvůli pohodlí) k vytvoření bodů (1, 2), (2, 7), (3, 16), (4, 29) a (5, 46).
Nyní se rozhodněte, co chcete další tři čísla sekvence, která mají být. Řekněme, že další tři čísla jsou p , q a r . Udělejte z těchto hodnot body, jak jste to udělali výše, pomocí čísel jako x , která dosud nebyla použita; pro pohodlí použijte znovu 6, 7 a 8 pro x hodnoty. Nyní tedy máte další body (6, p ), (7, q ) , a (8, r ).
Celkově máte 8 bodů (1, 2), (2, 7), (3, 16), (4, 29), (5, 46). (6, p ), (7, q ) a (8, r ). Existuje polynom P ( x ) stupně 7 nebo méně a lze jej najít, které interpoluje tyto body. To znamená, že P (1) = 2, P (2) = 7, P (3) = 16, P (4) = 29, P (5) = 46, P (6) = p , P (7) = q a P (8) = r . Nezáleží na tom, jaké hodnoty jste vybrali pro p , q a r . Můžete vybrat tři různé hodnoty a získat různé P ( x ), ale bude stále vám dává čísla ve vaší sekvenci, když x = 1, 2, 3, 4 a 5 a jakékoli hodnoty, které vyberete pro p , q a r , když x = 6, 7 a 8.
To znamená, že všechny otázky „jaké je další číslo (čísla) v pořadí „Typu jsou zde a navždy po zodpovězení podobným způsobem. Další čísla jsou libovolná.
Odpověď
Existuje „správný“ matematický způsob, jak to vyřešit, a jsem si jist, že tento druh posloupnosti má vlastní název, který by to popsal, ale mohlo by nám uniknout, kdybychom se na něj jen podívali a provedli nějaké pokusy a omyly.
Mezery mezi těmito čísly jsou 2, 8 a 36. Ty jsou v 2x stůl (2×1, 2×4 a 2×18), takže mezery jsou 2x (1, 4 a 18). Existuje zde náznak vzoru, ale nic, co by nevyžadovalo více než minimální úsilí, takže se k tomu v případě potřeby vraťme později.
Takže pokud to nejsou mezery při této příležitosti pak existuje vzor skutečných čísel v samotné posloupnosti?
Někdy je další výraz v posloupnosti dán aplikací operandu na předchozí číslo. To obvykle může souviset s pozicí čísla v pořadí. Zjistil jsem, že práce vzad je obvykle dobrý způsob, jak začít. Zkusme to:
48 děleno 12 je 4, 12 děleno 4 je 3, 4 děleno 2 je 2. Další číslo v pořadí se zdá být získáno vynásobením předchozího čísla pozicí v posloupnosti dalšího čísla.
Vypadá to, že bychom na něčem mohli být.
Pokud máme pravdu, bude pozice 5 v posloupnosti dána vynásobením 48 (což je to, co jsme „dostali na pozici 4) o 5 (to je totéž jako polovina z 10×48 pro případ, že byste chtěli zjednodušit výpočet, abyste to provedli mentálně).
Proto jsem pomocí svého neohrabaného přístupu dospěl k číslu 240 pro další číslo v pořadí. Nečekal bych, že si vyzvednu nějaké další známky za způsob, jakým jsem k této odpovědi dospěl.