Melhor resposta
Acabei de responder a uma pergunta muito parecida com esta. Em vez de replicar meu esforço, cortarei e colarei minha resposta a essa pergunta aqui. Desculpe minha preguiça e tenha a certeza de que o princípio é exatamente o mesmo. A questão era
Quais são os próximos três números na sequência 2,7,16,29,46?
Minha resposta a essa pergunta segue…
Os próximos três números em sua sequência 2, 7, 16, 29, 46 são quaisquer três números que você desejar. Eis o porquê: dados n pontos no plano com valores x distintos, um polinômio de grau menor que n existe que interpola os pontos.
Os termos de sua sequência podem ser considerados y – valores de 5 pontos no plano. Quais são os x -valores? Eles podem ser quaisquer números que você quiser, mas por uma questão de conveniência, considere-os como 1, 2, 3, 4 e 5. Emparelhe-os com os termos de sua sequência, na ordem que desejar (novamente por uma questão de conveniência) para formar os pontos (1, 2), (2, 7), (3, 16), (4, 29) e (5, 46).
Agora, decida o que você quer os próximos três números da sequência serão. Digamos que os próximos três números sejam p , q e r . Destaque esses valores como você fez acima, usando como x -valores números que ainda não foram usados como tal; novamente, por conveniência, use 6, 7 e 8 para os valores x . Agora você tem os pontos adicionais (6, p ), (7, q ) , e (8, r ).
Juntos, você tem os 8 pontos (1, 2), (2, 7), (3, 16), (4, 29), (5, 46). (6, p ), (7, q ) e (8, r ). Um polinômio P ( x ) de grau 7 ou menos existe e pode ser encontrado, que interpola esses pontos. Isso significa que P (1) = 2, P (2) = 7, P (3) = 16, P (4) = 29, P (5) = 46, P (6) = p , P (7) = q e P (8) = r . Não importa quais valores você escolheu para p , q e r . Você pode escolher três valores diferentes e obter um P ( x ) diferente, mas vai ainda fornece os números em sua sequência quando x = 1, 2, 3, 4 e 5, e quaisquer valores que você escolher para p , q e r quando x = 6, 7 e 8.
Isso significa que todas as perguntas de “qual é o (s) próximo (s) número (s) na sequência ”Tipo estão aqui e para sempre depois de respondidos da mesma maneira. O próximo número é o que você quiser.
Resposta
Existe uma maneira matemática “adequada” de resolver isso e tenho certeza de que esse tipo de sequência tem um nome próprio para descrevê-lo, mas podemos nos safar apenas olhando para ele e fazendo algumas tentativas e erros.
As lacunas entre esses números são 2, 8 e 36. Esses estão no 2x tabela (2×1, 2×4 e 2×18) para que as lacunas sejam 2x (1, 4 e 18). Há uma sugestão de um padrão ali, mas nada que não exija mais do que um esforço mínimo, então vamos voltar a isso mais tarde, se necessário.
Então, se não forem as lacunas nesta ocasião então, há um padrão para os números reais na própria sequência?
Às vezes, o próximo termo em uma sequência é dado pela aplicação de um operando ao número anterior. Isso geralmente pode estar relacionado à posição do número na sequência. Acho que trabalhar ao contrário é normalmente uma boa maneira de começar. Vamos tentar isso:
48 dividido por 12 é 4, 12 dividido por 4 é 3, 4 dividido por 2 é 2. O próximo número na sequência parece ser obtido multiplicando o número anterior pela posição na sequência do próximo número.
Parece que podemos estar no caminho certo.
Se estivermos corretos, a posição 5 na sequência será dada pela multiplicação de 48 (que é o que temos na posição 4) por 5 (é o mesmo que metade de 10×48, caso você queira simplificar o cálculo para fazê-lo mentalmente).
Portanto, usando minha abordagem desajeitada, cheguei à cifra de 240 para o próximo número na sequência. Eu não esperaria pegar nenhuma nota extra pela maneira como cheguei a essa resposta.