Bästa svaret
Jag har precis svarat på en fråga så mycket. I stället för att replikera min ansträngning kommer jag att klippa och klistra in mitt svar på den frågan här. Ursäkta min lathet och var säker på att principen är exakt densamma. Frågan var
Vilka är de tre nästa siffrorna i sekvensen 2,7,16,29,46?
Mitt svar på den frågan följer …
De nästa tre siffrorna i din sekvens 2, 7, 16, 29, 46, är vilka tre siffror du vill ha. Här är varför: givet n punkter i planet med distinkta x -värden, ett polynom av grad mindre än n finns som interpolerar punkterna.
Villkoren för din sekvens kan tas som y -värden på 5 poäng i planet. Vilka är x -värdena? De kan vara vilka siffror du vill, men för enkelhets skull, ta dem till 1, 2, 3, 4 och 5. Koppla ihop dem med villkoren i din sekvens, i ordning om du vill (igen för bekvämlighet) för att bilda punkterna (1, 2), (2, 7), (3, 16), (4, 29) och (5, 46).
Nu bestämmer du vad du vill de följande tre siffrorna i sekvensen som ska vara. Låt oss säga att de tre nästa siffrorna är p , q och r . Gör poäng utifrån dessa värden som du gjorde ovan genom att använda som x -värden som ännu inte har använts som sådana; igen, för enkelhets skull, använd 6, 7 och 8 för x -värdena. Så du har nu ytterligare poäng (6, p ), (7, q ) , och (8, r ).
Tillsammans har du 8 poäng (1, 2), (2, 7), (3, 16), (4, 29), (5, 46). (6, p ), (7, q ) och (8, r ). Ett polynom P ( x ) av grad 7 eller mindre finns och kan hittas, som interpolerar dessa punkter. Detta betyder att P (1) = 2, P (2) = 7, P (3) = 16, P (4) = 29, P (5) = 46, P (6) = p , P (7) = q och P (8) = r . Det spelar ingen roll vilka värden du valde för p , q och r . Du kan välja tre olika värden och få en annan P ( x ), men det kommer ge dig fortfarande siffrorna i din sekvens när x = 1, 2, 3, 4 och 5, och vilka värden du väljer för p , q och r när x = 6, 7 och 8.
Detta betyder att alla frågor om ”vad är nästa nummer i sekvensen ”Typ är här och för alltid efter besvaras på ett liknande sätt. Nästa nummer är vad du vill att de ska vara.
Svar
Det finns ett ”rätt” matematiskt sätt att lösa detta och jag är säker på att denna typ av sekvens har ett egentligt namn för att beskriva det, men vi kan komma undan med att bara titta på det och göra lite försök och fel på det.
Avstånden mellan dessa siffror är 2, 8 och 36. De finns i 2x bord (2×1, 2×4 och 2×18) så att luckorna är 2x (1, 4 och 18). Det finns ett antydan till ett mönster där men inget som inte kräver mer än minimal ansträngning, så kan vi komma tillbaka till det senare om vi behöver.
Så om det inte är luckorna vid detta tillfälle då finns det ett mönster för de faktiska siffrorna i själva sekvensen?
Ibland ges nästa term i en sekvens genom att tillämpa en operand på föregående nummer. Detta kan vanligtvis relateras till nummerets position i sekvensen. Jag tycker att arbeta bakåt är normalt ett bra sätt att börja. Låt oss försöka att:
48 dividerat med 12 är 4, 12 dividerat med 4 är 3, 4 dividerat med 2 är 2. Nästa nummer i sekvensen verkar erhållas genom att multiplicera föregående nummer med positionen i sekvensen för nästa nummer.
Ser ut som om vi kan vara på något.
Om vi är korrekta kommer position 5 i sekvensen att ges genom att multiplicera 48 (vilket är vad vi har i position 4) med 5 (det är samma som hälften av 10×48 om du vill förenkla beräkningen för att göra det mentalt).
Därför med mitt klumpiga tillvägagångssätt kom jag fram till siffran 240 för nästa nummer i sekvensen. Jag förväntar mig inte att ta några extra poäng för hur jag kom fram till det svaret.